Номер 926, страница 130 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

926. Через точки $M$ и $N$ пересечения двух окружностей проведены секущие $AMB$ и $CND$, причем точки $A$ и $D$ лежат на одной окружности, а точки $B$ и $C$ — на другой.

а) Докажите, что прямые $AD$ и $BC$ параллельны.

б) Какой вывод можно сделать, если точки $A$ и $D$ совпадают?

в) Какой вывод можно сделать, если окружности касаются, т. е. точки $M$ и $N$ совпадают?

а) Рассмотрим четырехугольник $ADNM$. Так как все его вершины $A, D, N, M$ лежат на одной окружности (назовем ее $\omega_1$), то он является вписанным. По свойству вписанного четырехугольника, сумма его противоположных углов равна $180^\circ$. Следовательно, $\angle ADN + \angle AMN = 180^\circ$.

Аналогично, рассмотрим четырехугольник $BCNM$. Его вершины $B, C, N, M$ лежат на другой окружности (назовем ее $\omega_2$), поэтому он также является вписанным. Для него справедливо равенство: $\angle BCN + \angle BMN = 180^\circ$.

Точки $A, M, B$ лежат на одной прямой (секущей $AMB$), поэтому углы $\angle AMN$ и $\angle BMN$ являются смежными, и их сумма равна $180^\circ$: $\angle AMN + \angle BMN = 180^\circ$.

Из последних двух равенств следует, что $\angle BCN = 180^\circ - \angle BMN = \angle AMN$.

Теперь подставим это в первое равенство: $\angle ADN + \angle AMN = 180^\circ \implies \angle ADN + \angle BCN = 180^\circ$.

Углы $\angle ADN$ (он же $\angle ADC$) и $\angle BCN$ являются внутренними односторонними углами при прямых $AD$ и $BC$ и секущей $CD$. Поскольку их сумма равна $180^\circ$, прямые $AD$ и $BC$ параллельны.

Ответ: Прямые $AD$ и $BC$ параллельны, что и требовалось доказать.

б) Если точки $A$ и $D$ совпадают, то секущая $AD$, проходящая через две бесконечно близкие точки окружности, становится касательной к этой окружности в точке $A$. Так как из пункта а) мы знаем, что прямая $AD$ параллельна прямой $BC$, то в этом предельном случае мы можем сделать вывод, что прямая $BC$ параллельна касательной к первой окружности, проведенной в точке $A$.

Ответ: Прямая $BC$ будет параллельна касательной к первой окружности (на которой лежат точки $A$ и $D$) в точке $A$.

в) Если окружности касаются, то точки их пересечения $M$ и $N$ совпадают в одной точке касания. Обозначим эту точку как $T$. Тогда через точку $T$ проходят две секущие: $ATB$ и $CTD$.

Проведем через точку $T$ общую касательную к обеим окружностям. По теореме об угле между касательной и хордой для первой окружности, угол между касательной и хордой $TD$ равен вписанному углу, опирающемуся на эту хорду, то есть $\angle TAD$.

Аналогично для второй окружности, угол между той же касательной и хордой $TC$ равен вписанному углу $\angle TBC$.

Так как хорды $TD$ и $TC$ лежат на одной прямой $CTD$, углы, которые они образуют с общей касательной, равны. Следовательно, $\angle TAD = \angle TBC$.

Эти углы являются накрест лежащими при прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AB$. Поскольку они равны, прямые $AD$ и $BC$ параллельны.

Более того, можно сделать вывод о подобии треугольников. Рассмотрим $\triangle ATD$ и $\triangle BTC$. У них $\angle ATD = \angle BTC$ как вертикальные. Мы уже доказали, что $\angle TAD = \angle TBC$. Следовательно, $\triangle ATD \sim \triangle BTC$ по двум углам.

Ответ: Прямые $AD$ и $BC$ по-прежнему будут параллельны. Кроме того, треугольники $ATD$ и $BTC$ (где $T$ — точка касания) будут подобны.