Номер 929, страница 131 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

929. Окружность пересекает одну из концентрических окружностей в точках $A$ и $B$, а другую — в точках $M$ и $N$. Докажите, что прямые $AB$ и $MN$ параллельны.

Обозначим данные концентрические окружности как $\omega_1$ и $\omega_2$, а их общий центр — как точку $O$. Пусть третья окружность, пересекающая их, будет $\omega_3$ с центром в точке $O'$.

По условию задачи, окружность $\omega_3$ пересекает окружность $\omega_1$ в точках $A$ и $B$. Прямая $AB$ является общей хордой окружностей $\omega_1$ и $\omega_3$.

Также, по условию, окружность $\omega_3$ пересекает окружность $\omega_2$ в точках $M$ и $N$. Прямая $MN$ является общей хордой окружностей $\omega_2$ и $\omega_3$.

Воспользуемся свойством пересекающихся окружностей: линия, соединяющая центры двух пересекающихся окружностей, перпендикулярна их общей хорде.

1. Для окружностей $\omega_1$ (центр $O$) и $\omega_3$ (центр $O'$), линия центров $OO'$ перпендикулярна их общей хорде $AB$. Таким образом, $OO' \perp AB$.

2. Для окружностей $\omega_2$ (центр $O$) и $\omega_3$ (центр $O'$), линия центров $OO'$ перпендикулярна их общей хорде $MN$. Таким образом, $OO' \perp MN$.

Мы получили, что прямые $AB$ и $MN$ перпендикулярны одной и той же прямой $OO'$. По теореме о двух прямых, перпендикулярных третьей, эти две прямые параллельны между собой. Следовательно, $AB \parallel MN$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Параллельность прямых $AB$ и $MN$ доказана.