Номер 936, страница 131 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

936. Центр окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, отстоит от концов одной боковой стороны на 15 см и 20 см (рис. 296). Найдите радиус окружности.

Рис. 296

Решение

Пусть дана прямоугольная трапеция $ABCD$, в которую вписана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $r$. Пусть $AB$ – боковая сторона, перпендикулярная основаниям, а $CD$ – другая боковая сторона. Из условия задачи известно, что расстояния от центра окружности $O$ до концов боковой стороны $CD$ равны 15 см и 20 см. То есть, $OC = 15$ см и $OD = 20$ см.

1. Центр вписанной в многоугольник окружности является точкой пересечения его биссектрис. Следовательно, отрезки $CO$ и $DO$ являются биссектрисами углов $\angle BCD$ и $\angle ADC$ соответственно.

2. В трапеции сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна $180^\circ$. Таким образом, $\angle BCD + \angle ADC = 180^\circ$.

3. Рассмотрим треугольник $\triangle COD$. Так как $CO$ и $DO$ – биссектрисы, то $\angle OCD = \frac{1}{2}\angle BCD$ и $\angle ODC = \frac{1}{2}\angle ADC$. Сумма этих углов в треугольнике равна:

$\angle OCD + \angle ODC = \frac{1}{2}\angle BCD + \frac{1}{2}\angle ADC = \frac{1}{2}(\angle BCD + \angle ADC) = \frac{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ$.

4. Поскольку сумма двух углов в треугольнике $\triangle COD$ равна $90^\circ$, то третий угол $\angle COD$ равен $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Это означает, что треугольник $\triangle COD$ является прямоугольным, где $OC$ и $OD$ – катеты, а $CD$ – гипотенуза.

5. По теореме Пифагора найдем длину гипотенузы $CD$:

$CD^2 = OC^2 + OD^2 = 15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625$.

$CD = \sqrt{625} = 25$ см.

6. Радиус вписанной окружности, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Проведем радиус $OK$ к боковой стороне $CD$ (где $K$ – точка касания). Тогда $OK \perp CD$, и длина $OK$ равна радиусу окружности $r$. В прямоугольном треугольнике $\triangle COD$ отрезок $OK$ является высотой, проведенной к гипотенузе.

7. Высоту прямоугольного треугольника, проведенную к гипотенузе, можно найти через площадь. Площадь треугольника $\triangle COD$ можно вычислить двумя способами:

$S = \frac{1}{2} \cdot OC \cdot OD$ (через катеты)

$S = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot OK$ (через гипотенузу и высоту)

Приравняв эти выражения, получим:

$OC \cdot OD = CD \cdot OK$

Подставим известные значения, где $OK=r$:

$15 \cdot 20 = 25 \cdot r$

$300 = 25 \cdot r$

$r = \frac{300}{25} = 12$ см.

Ответ: 12 см.