Номер 932, страница 131 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

932. Периметр прямоугольного треугольника равен 56 см, а радиус описанной около него окружности — 12,5 см. Найдите площадь этого треугольника.

Пусть $a$ и $b$ — катеты прямоугольного треугольника, а $c$ — его гипотенуза.

Периметр треугольника $P$ равен сумме длин его сторон: $P = a + b + c$. По условию задачи, $P = 56$ см.

Для любого прямоугольного треугольника центр описанной около него окружности является серединой гипотенузы. Следовательно, радиус описанной окружности $R$ равен половине гипотенузы: $R = \frac{c}{2}$.

Из условия известно, что радиус описанной окружности $R = 12,5$ см. Используя эту информацию, найдем длину гипотенузы $c$:
$c = 2 \cdot R = 2 \cdot 12,5 = 25$ см.

Теперь, зная периметр и гипотенузу, мы можем найти сумму катетов $a + b$:
$a + b = P - c = 56 - 25 = 31$ см.

Площадь прямоугольного треугольника $S$ вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2}ab$. Чтобы найти площадь, нам необходимо вычислить произведение катетов $ab$.

Для этого воспользуемся теоремой Пифагора $a^2 + b^2 = c^2$ и формулой квадрата суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

1. По теореме Пифагора:
$a^2 + b^2 = 25^2 = 625$.

2. Возведем в квадрат сумму катетов:
$(a + b)^2 = 31^2 = 961$.

3. Теперь подставим известные значения в формулу квадрата суммы:
$(a + b)^2 = (a^2 + b^2) + 2ab$
$961 = 625 + 2ab$

Отсюда найдем $2ab$:
$2ab = 961 - 625$
$2ab = 336$

Теперь вычислим площадь $S$:
$S = \frac{1}{2}ab$. Мы можем найти $ab = \frac{336}{2} = 168$.
Тогда площадь равна $S = \frac{168}{2} = 84$ см².

Ответ: 84 см².