Номер 930, страница 131 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

930. В сектор с острым углом $\alpha$ и радиусом $r$ вписан круг. Найдите его площадь.

Пусть сектор ограничен радиусами $OA$ и $OB$ и дугой $AB$. Центр сектора — точка $O$, радиус сектора — $r$, угол сектора — $\angle AOB = \alpha$.

Пусть вписанный круг имеет центр в точке $C$ и радиус $R$. Нам нужно найти площадь этого круга, которая вычисляется по формуле $S = \pi R^2$. Следовательно, задача сводится к нахождению радиуса $R$.

Поскольку круг вписан в сектор, он касается радиусов $OA$ и $OB$. Центр круга, вписанного в угол, лежит на биссектрисе этого угла. Таким образом, точка $C$ лежит на биссектрисе угла $\angle AOB$. Эта биссектриса делит угол $\alpha$ на два равных угла по $\alpha/2$.

Проведем перпендикуляр $CD$ из центра $C$ на радиус $OA$. Точка $D$ является точкой касания, а длина отрезка $CD$ равна радиусу вписанного круга $R$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ODC$. В нем:

• Гипотенуза — $OC$.
• Катет $CD = R$.
• Угол $\angle DOC = \alpha/2$.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике имеем:$\sin(\angle DOC) = \frac{CD}{OC}$, то есть $\sin(\alpha/2) = \frac{R}{OC}$. Отсюда мы можем выразить расстояние $OC$:$OC = \frac{R}{\sin(\alpha/2)}$.

Вписанный круг также касается дуги $AB$ сектора. Пусть точка касания — $E$. Эта точка лежит на отрезке $OC$, продолжающем биссектрису. Расстояние от центра сектора $O$ до точки $E$ равно радиусу сектора $r$. Это расстояние складывается из двух отрезков: $OC$ (расстояние от центра сектора до центра вписанного круга) и $CE$ (радиус вписанного круга $R$).Таким образом, $OE = OC + CE$, что дает нам уравнение:$r = OC + R$.

Теперь у нас есть система из двух уравнений для $OC$ и $R$:

$OC = \frac{R}{\sin(\alpha/2)}$

$OC = r - R$

Приравняем правые части:$\frac{R}{\sin(\alpha/2)} = r - R$.

Решим это уравнение относительно $R$:$R = (r - R)\sin(\alpha/2)$
$R = r \sin(\alpha/2) - R \sin(\alpha/2)$
$R + R \sin(\alpha/2) = r \sin(\alpha/2)$
$R(1 + \sin(\alpha/2)) = r \sin(\alpha/2)$
$R = \frac{r \sin(\alpha/2)}{1 + \sin(\alpha/2)}$.

Теперь, когда мы нашли радиус вписанного круга $R$, можем найти его площадь $S$:$S = \pi R^2 = \pi \left(\frac{r \sin(\alpha/2)}{1 + \sin(\alpha/2)}\right)^2 = \frac{\pi r^2 \sin^2(\alpha/2)}{(1 + \sin(\alpha/2))^2}$.

Ответ:$S = \frac{\pi r^2 \sin^2(\frac{\alpha}{2})}{(1 + \sin(\frac{\alpha}{2}))^2}$