Номер 935, страница 131 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

935. Найдите катеты прямоугольного треугольника, учитывая, что радиусы вписанной и описанной около этого треугольника окружностей равны $R$ и $r$ соответственно.

Обозначим катеты прямоугольного треугольника как $a$ и $b$, а гипотенузу как $c$.

Для прямоугольного треугольника известны следующие соотношения, связывающие его стороны с радиусами вписанной ($r$) и описанной ($R$) окружностей:

1. Радиус описанной окружности равен половине гипотенузы: $R = \frac{c}{2}$. Отсюда гипотенуза $c = 2R$.
2. Радиус вписанной окружности можно найти по формуле: $r = \frac{a+b-c}{2}$.

Подставим выражение для гипотенузы $c=2R$ во вторую формулу:

$r = \frac{a+b-2R}{2}$

Выразим сумму катетов $a+b$:

$2r = a+b-2R$

$a+b = 2R+2r = 2(R+r)$

Теперь у нас есть выражение для суммы катетов. Также для любого прямоугольного треугольника верна теорема Пифагора:

$a^2 + b^2 = c^2$

Подставим сюда $c=2R$:

$a^2 + b^2 = (2R)^2 = 4R^2$

Итак, мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными $a$ и $b$:

$\begin{cases} a+b = 2(R+r) \\ a^2+b^2 = 4R^2 \end{cases}$

Чтобы решить эту систему, найдем произведение катетов $ab$. Возведем первое уравнение в квадрат:

$(a+b)^2 = (2(R+r))^2$

$a^2+2ab+b^2 = 4(R+r)^2$

$a^2+2ab+b^2 = 4(R^2+2Rr+r^2)$

Мы знаем, что $a^2+b^2 = 4R^2$. Подставим это значение:

$4R^2 + 2ab = 4R^2+8Rr+4r^2$

$2ab = 8Rr+4r^2$

$ab = 4Rr+2r^2 = 2r(2R+r)$

Теперь мы знаем сумму $S = a+b = 2(R+r)$ и произведение $P = ab = 2r(2R+r)$. Катеты $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения $x^2 - Sx + P = 0$ (согласно теореме Виета).

$x^2 - 2(R+r)x + 2r(2R+r) = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта:

$D = (2(R+r))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2r(2R+r)) = 4(R+r)^2 - 8r(2R+r)$

$D = 4(R^2+2Rr+r^2) - 16Rr - 8r^2 = 4R^2+8Rr+4r^2 - 16Rr - 8r^2$

$D = 4R^2 - 8Rr - 4r^2 = 4(R^2 - 2Rr - r^2)$

Найдем корни уравнения:

$x_{1,2} = \frac{2(R+r) \pm \sqrt{4(R^2 - 2Rr - r^2)}}{2} = \frac{2(R+r) \pm 2\sqrt{R^2 - 2Rr - r^2}}{2}$

$x_{1,2} = (R+r) \pm \sqrt{R^2 - 2Rr - r^2}$

Эти два корня и есть искомые длины катетов.

Ответ: $R+r + \sqrt{R^2 - 2Rr - r^2}$ и $R+r - \sqrt{R^2 - 2Rr - r^2}$.