Номер 941, страница 132 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

941. На описанной около треугольника окружности отмечена произвольная точка. Докажите, что три точки, симметричные ей относительно прямых, содержащих стороны треугольника, лежат на одной прямой, проходящей через точку пересечения высот (рис. 299).

Рис. 299

Доказательство

Пусть дан треугольник $ABC$, описанная около него окружность $\omega$ и произвольная точка $P$ на этой окружности. Пусть $H$ – точка пересечения высот (ортоцентр) треугольника $ABC$.

Обозначим точки, симметричные точке $P$ относительно прямых $BC$, $AC$ и $AB$, как $P_a$, $P_b$ и $P_c$ соответственно.

Доказательство состоит из двух основных частей:
1. Докажем, что точки $P_a$, $P_b$, $P_c$ лежат на одной прямой (эта прямая называется прямой Штейнера).
2. Докажем, что эта прямая проходит через ортоцентр $H$.

Для доказательства воспользуемся известным свойством прямой Симсона. Прямая Симсона точки $P$ относительно треугольника $ABC$ – это прямая, проходящая через основания перпендикуляров, опущенных из точки $P$ на стороны треугольника (или их продолжения). По теореме Симсона, если точка $P$ лежит на описанной окружности треугольника, то основания этих перпендикуляров лежат на одной прямой.

Пусть $P'_a$, $P'_b$ и $P'_c$ – проекции точки $P$ на прямые $BC$, $AC$ и $AB$ соответственно. Согласно теореме Симсона, точки $P'_a$, $P'_b$ и $P'_c$ лежат на одной прямой – прямой Симсона точки $P$.

Теперь рассмотрим связь между точками $P_a, P_b, P_c$ и $P'_a, P'_b, P'_c$. По определению симметрии, прямая $BC$ является серединным перпендикуляром к отрезку $PP_a$. Это означает, что точка $P'_a$ (проекция $P$ на $BC$) является серединой отрезка $PP_a$. Аналогично, $P'_b$ – середина $PP_b$, и $P'_c$ – середина $PP_c$.

Рассмотрим гомотетию (растяжение) с центром в точке $P$ и коэффициентом $k=2$. При этой гомотетии:
– точка $P'_a$ переходит в точку $P_a$, так как $\vec{PP_a} = 2\vec{PP'_a}$.
– точка $P'_b$ переходит в точку $P_b$, так как $\vec{PP_b} = 2\vec{PP'_b}$.
– точка $P'_c$ переходит в точку $P_c$, так как $\vec{PP_c} = 2\vec{PP'_c}$.

Гомотетия преобразует прямую в параллельную ей прямую. Поскольку точки $P'_a, P'_b, P'_c$ лежат на одной прямой (прямой Симсона), их образы – точки $P_a, P_b, P_c$ – также лежат на одной прямой (прямой Штейнера). Первая часть доказана.

Теперь докажем, что ортоцентр $H$ лежит на этой прямой. Воспользуемся еще одним известным свойством прямой Симсона: прямая Симсона точки $P$ делит пополам отрезок $PH$, соединяющий точку $P$ с ортоцентром $H$ треугольника.

Пусть $M$ – середина отрезка $PH$. Согласно этому свойству, точка $M$ лежит на прямой Симсона (прямой, проходящей через $P'_a, P'_b, P'_c$).

Рассмотрим ту же гомотетию с центром в $P$ и коэффициентом 2. Мы знаем, что она преобразует прямую Симсона в прямую Штейнера. Найдем образ точки $M$ при этой гомотетии. Обозначим его $M'$. По определению гомотетии:
$\vec{PM'} = 2\vec{PM}$

Поскольку $M$ – середина $PH$, то $\vec{PM} = \frac{1}{2}\vec{PH}$. Подставив это в предыдущее равенство, получим:
$\vec{PM'} = 2 \cdot (\frac{1}{2}\vec{PH}) = \vec{PH}$

Это означает, что точка $M'$ совпадает с точкой $H$.

Итак, точка $M$ лежит на прямой Симсона. Ее образ при гомотетии, точка $H$, должен лежать на образе прямой Симсона, то есть на прямой Штейнера, проходящей через точки $P_a, P_b, P_c$.

Таким образом, мы доказали, что три точки $P_a, P_b, P_c$, симметричные точке $P$ относительно сторон треугольника, лежат на одной прямой, и эта прямая проходит через точку пересечения высот $H$.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.