Номер 943, страница 132 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

943. Прямая проходит через центр окружности, вписанной в пятиугольник. Докажите, что она разделяет его периметр и площадь в одном и том же отношении.

Пусть дан описанный многоугольник (в условии задачи — пятиугольник, но утверждение справедливо для любого описанного многоугольника), $O$ — центр вписанной в него окружности, а $r$ — её радиус.

Площадь любого описанного многоугольника можно представить как сумму площадей треугольников, образованных его сторонами и центром вписанной окружности $O$.

Пусть стороны многоугольника равны $a_1, a_2, \dots, a_n$. Тогда его полная площадь $S$ равна сумме площадей треугольников с основаниями $a_i$ и высотой $r$ (поскольку расстояние от центра вписанной окружности до любой стороны равно радиусу): $S = \frac{1}{2}a_1 r + \frac{1}{2}a_2 r + \dots + \frac{1}{2}a_n r = \frac{1}{2}r(a_1 + a_2 + \dots + a_n)$.

Сумма длин сторон $a_1 + a_2 + \dots + a_n$ есть периметр многоугольника $P$. Таким образом, $S = \frac{1}{2}rP$.

Теперь рассмотрим прямую, которая проходит через центр $O$ и разделяет многоугольник на две части. Обозначим площади этих частей как $S_1$ и $S_2$, а соответствующие им части периметра (участки контура исходного многоугольника) как $P_1$ и $P_2$.

Площадь первой части $S_1$ также можно представить как сумму площадей треугольников с общей вершиной в точке $O$, основаниями которых являются отрезки, составляющие периметр $P_1$. Высота каждого из этих треугольников, опущенная из вершины $O$, равна радиусу $r$. Следовательно, площадь $S_1$ можно выразить через $P_1$: $S_1 = \frac{1}{2}rP_1$.

Аналогично для второй части многоугольника: $S_2 = \frac{1}{2}rP_2$.

Теперь найдем отношение, в котором прямая разделяет площадь многоугольника: $\frac{S_1}{S_2} = \frac{\frac{1}{2}rP_1}{\frac{1}{2}rP_2}$

Сократив $\frac{1}{2}r$, получаем: $\frac{S_1}{S_2} = \frac{P_1}{P_2}$.

Это означает, что отношение площадей двух частей равно отношению длин соответствующих им частей периметра. Таким образом, прямая разделяет периметр и площадь многоугольника в одном и том же отношении, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Отношение площадей $\frac{S_1}{S_2}$ равно отношению периметров $\frac{P_1}{P_2}$.