Номер 938, страница 131 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

938. Точка $M$ находится на расстояниях $a$ и $b$ от сторон угла $A$ величиной $60^\circ$. Найдите длину отрезка, отсекаемого на биссектрисе угла $A$ перпендикуляром к ней, проведенным из точки $M$, учитывая, что точка $M$ находится:

а) внутри угла $A$;

б) вне угла $A$.

Для решения задачи введем декартову систему координат. Пусть вершина угла A находится в начале координат (0, 0), а его биссектриса AL совпадает с положительным направлением оси Ox. Тогда стороны угла будут лучами, лежащими на прямых, которые образуют с осью Ox углы $30^\circ$ и $-30^\circ$.

Уравнения прямых, содержащих стороны угла:
$L_1: y = x \tan(30^\circ) \implies y = \frac{1}{\sqrt{3}}x \implies x - \sqrt{3}y = 0$
$L_2: y = x \tan(-30^\circ) \implies y = -\frac{1}{\sqrt{3}}x \implies x + \sqrt{3}y = 0$

Пусть точка M имеет координаты $(x_M, y_M)$. Расстояния $a$ и $b$ от точки M до сторон угла — это расстояния до прямых $L_1$ и $L_2$.
$a = \frac{|x_M - \sqrt{3}y_M|}{\sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2}} = \frac{|x_M - \sqrt{3}y_M|}{2}$
$b = \frac{|x_M + \sqrt{3}y_M|}{\sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2}} = \frac{|x_M + \sqrt{3}y_M|}{2}$

Перпендикуляр, проведенный из точки M к биссектрисе (оси Ox), пересекает ее в точке H с координатами $(x_M, 0)$. Искомая длина отрезка — это расстояние AH. Поскольку отрезок отсекается на биссектрисе угла A (луче), точка H должна лежать на этом луче, то есть $x_M \ge 0$. Длина отрезка AH равна $x_M$.

а) внутри угла А

Если точка M находится внутри угла A, то ее координаты удовлетворяют условиям $x_M > 0$ и $-\frac{1}{\sqrt{3}}x_M < y_M < \frac{1}{\sqrt{3}}x_M$.
Из этих неравенств следует, что $x_M - \sqrt{3}y_M > 0$ и $x_M + \sqrt{3}y_M > 0$.
Тогда формулы для расстояний принимают вид:
$2a = x_M - \sqrt{3}y_M$
$2b = x_M + \sqrt{3}y_M$
Сложим эти два уравнения:
$2a + 2b = (x_M - \sqrt{3}y_M) + (x_M + \sqrt{3}y_M) = 2x_M$
Отсюда находим $x_M$:
$x_M = a+b$
Так как $a$ и $b$ — положительные величины, $x_M > 0$, что соответствует условию.
Длина отрезка $AH = x_M = a+b$.

Ответ: $a+b$

б) вне угла А

Если точка M находится вне угла A, возможны несколько случаев расположения. Однако, мы исходим из условия, что отрезок отсекается на биссектрисе-луче, то есть $x_M \ge 0$. Это исключает случай, когда M находится в вертикальном угле к углу A (так как в этом случае $x_M$ будет отрицательным). Рассмотрим случаи, когда M находится в смежных с A углах.

Случай 1: M находится в области, где $x_M > 0$ и $y_M > \frac{1}{\sqrt{3}}x_M$.
В этом случае $x_M - \sqrt{3}y_M < 0$ и $x_M + \sqrt{3}y_M > 0$.
Формулы для расстояний:
$2a = -(x_M - \sqrt{3}y_M) = -x_M + \sqrt{3}y_M$
$2b = x_M + \sqrt{3}y_M$
Вычтем первое уравнение из второго:
$2b - 2a = (x_M + \sqrt{3}y_M) - (-x_M + \sqrt{3}y_M) = 2x_M$
$x_M = b-a$
Условие $x_M \ge 0$ означает, что $b \ge a$. Длина отрезка $AH = b-a$.

Случай 2: M находится в области, где $x_M > 0$ и $y_M < -\frac{1}{\sqrt{3}}x_M$.
В этом случае $x_M - \sqrt{3}y_M > 0$ и $x_M + \sqrt{3}y_M < 0$.
Формулы для расстояний:
$2a = x_M - \sqrt{3}y_M$
$2b = -(x_M + \sqrt{3}y_M) = -x_M - \sqrt{3}y_M$
Вычтем второе уравнение из первого:
$2a - 2b = (x_M - \sqrt{3}y_M) - (-x_M - \sqrt{3}y_M) = 2x_M$
$x_M = a-b$
Условие $x_M \ge 0$ означает, что $a \ge b$. Длина отрезка $AH = a-b$.

Объединяя оба случая, мы видим, что если $b \ge a$, то длина равна $b-a$, а если $a \ge b$, то длина равна $a-b$. В обоих случаях длина отрезка AH равна модулю разности $a$ и $b$.

Ответ: $|a-b|$