Номер 940, страница 132 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

940. Треугольник ABC вписан в окружность (рис. 298). Найдите угол между прямой BC и касательной к окружности, проходящей через точку A, учитывая, что $\angle B = \alpha$ и $\angle C = \beta$.

Рис. 298

Обозначим касательную к окружности в точке A как прямую $t$. Прямая, проходящая через точки B и C, обозначим как $l$. Пусть $P$ — точка пересечения прямых $t$ и $l$. Искомый угол — это угол, образованный при пересечении этих прямых. В зависимости от соотношения углов $\alpha$ и $\beta$ возможны два случая расположения точки $P$ на прямой $l$ относительно отрезка $BC$.

Случай 1: Точка пересечения $P$ лежит на продолжении стороны $CB$ за точку $B$.

Этот случай изображен на рисунке к задаче. Рассмотрим треугольник $\triangle APB$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$:

$\angle APB + \angle PAB + \angle PBA = 180^\circ$

По теореме об угле между касательной и хордой, угол между касательной $PA$ и хордой $AB$ равен вписанному углу, опирающемуся на дугу $AB$, то есть $\angle ACB$. Следовательно, $\angle PAB = \angle ACB = \beta$.

Угол $\angle PBA$ в треугольнике $\triangle APB$ и угол $\angle ABC$ треугольника $\triangle ABC$ являются смежными, так как точки $P$, $B$ и $C$ лежат на одной прямой. Следовательно, $\angle PBA = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - \alpha$.

Подставим найденные значения углов в формулу суммы углов для $\triangle APB$:

$\angle APB + \beta + (180^\circ - \alpha) = 180^\circ$

$\angle APB = 180^\circ - 180^\circ - \beta + \alpha = \alpha - \beta$

Такой случай возможен, если $\alpha > \beta$, так как величина угла в треугольнике должна быть положительной.

Случай 2: Точка пересечения $P$ лежит на продолжении стороны $BC$ за точку $C$.

Рассмотрим треугольник $\triangle APC$. Сумма углов в нем также равна $180^\circ$:

$\angle APC + \angle PAC + \angle PCA = 180^\circ$

По теореме об угле между касательной и хордой, угол между касательной $PA$ и хордой $AC$ равен вписанному углу, опирающемуся на дугу $AC$, то есть $\angle ABC$. Следовательно, $\angle PAC = \angle ABC = \alpha$.

Угол $\angle PCA$ в треугольнике $\triangle APC$ и угол $\angle BCA$ треугольника $\triangle ABC$ являются смежными. Следовательно, $\angle PCA = 180^\circ - \angle BCA = 180^\circ - \beta$.

Подставим найденные значения углов в формулу суммы углов для $\triangle APC$:

$\angle APC + \alpha + (180^\circ - \beta) = 180^\circ$

$\angle APC = 180^\circ - 180^\circ - \alpha + \beta = \beta - \alpha$

Такой случай возможен, если $\beta > \alpha$.

Если $\alpha = \beta$, то треугольник $\triangle ABC$ равнобедренный ($AB=AC$), и касательная в точке $A$ параллельна основанию $BC$. Угол между ними равен $0^\circ$. Наши формулы также дают $0$ в этом случае.

Таким образом, искомый угол между прямой $BC$ и касательной в точке $A$ является неотрицательной разностью между углами $\alpha$ и $\beta$.

Ответ: $|\alpha - \beta|$.