Номер 933, страница 131 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

933. Найдите радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник с боковой стороной, равной 24 см, учитывая, что радиус окружности, описанной около этого треугольника, равен 33,8 см.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$, в котором боковые стороны $AB = AC = a = 24$ см, а основание $BC = b$.
Радиус описанной окружности $R = 33,8$ см.
Нужно найти радиус вписанной окружности $r$.

Для решения задачи воспользуемся следующими формулами:
1. Связь радиуса описанной окружности $R$ с боковой стороной $a$ и высотой $h$, проведенной к основанию, для равнобедренного треугольника: $R = \frac{a^2}{2h}$.
2. Формула для радиуса вписанной окружности $r$ через площадь $S$ и полупериметр $p$: $r = \frac{S}{p}$.

1. Найдем высоту треугольника $h$

Выразим высоту $h$ из формулы для радиуса описанной окружности:
$h = \frac{a^2}{2R}$
Подставим известные значения $a=24$ и $R=33,8$:
$h = \frac{24^2}{2 \cdot 33,8} = \frac{576}{67,6} = \frac{5760}{676} = \frac{1440}{169}$ см.

2. Найдем основание треугольника $b$

Высота $h$ в равнобедренном треугольнике, проведенная к основанию, является также медианой. Поэтому она делит основание $b$ на два равных отрезка длиной $b/2$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной $a$, высотой $h$ и половиной основания $b/2$. По теореме Пифагора:
$a^2 = h^2 + (\frac{b}{2})^2$
Отсюда выразим $(\frac{b}{2})^2$:
$(\frac{b}{2})^2 = a^2 - h^2 = 24^2 - (\frac{1440}{169})^2$
$(\frac{b}{2})^2 = 576 - \frac{2073600}{28561} = \frac{576 \cdot 28561 - 2073600}{28561} = \frac{16451136 - 2073600}{28561} = \frac{14377536}{28561}$
Извлечем квадратный корень, чтобы найти $b/2$:
$\frac{b}{2} = \sqrt{\frac{14377536}{28561}} = \frac{\sqrt{576 \cdot 24961}}{169} = \frac{24\sqrt{24961}}{169}$ см.

3. Найдем площадь $S$ и полупериметр $p$ треугольника

Площадь треугольника $S$ равна половине произведения основания на высоту:
$S = \frac{1}{2} b h = \frac{b}{2} \cdot h = \frac{24\sqrt{24961}}{169} \cdot \frac{1440}{169} = \frac{34560\sqrt{24961}}{28561}$ см$^2$.

Полупериметр $p$ равен половине суммы длин всех сторон:
$p = \frac{a+a+b}{2} = a + \frac{b}{2} = 24 + \frac{24\sqrt{24961}}{169} = 24(1 + \frac{\sqrt{24961}}{169}) = \frac{24(169 + \sqrt{24961})}{169}$ см.

4. Найдем радиус вписанной окружности $r$

Теперь мы можем вычислить радиус вписанной окружности:
$r = \frac{S}{p} = \frac{\frac{34560\sqrt{24961}}{169^2}}{\frac{24(169 + \sqrt{24961})}{169}} = \frac{34560\sqrt{24961}}{169 \cdot 24(169 + \sqrt{24961})}$
Сократим дробь на 24 ($34560 / 24 = 1440$):
$r = \frac{1440\sqrt{24961}}{169(169 + \sqrt{24961})}$
Для упрощения выражения умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(169 - \sqrt{24961})$:
$r = \frac{1440\sqrt{24961}(169 - \sqrt{24961})}{169(169 + \sqrt{24961})(169 - \sqrt{24961})} = \frac{1440(169\sqrt{24961} - 24961)}{169(169^2 - 24961)}$
Вычислим знаменатель: $169^2 - 24961 = 28561 - 24961 = 3600$.
$r = \frac{1440(169\sqrt{24961} - 24961)}{169 \cdot 3600}$
Сократим дробь на 1440 ($1440/3600 = 144/360 = 2/5$):
$r = \frac{2(169\sqrt{24961} - 24961)}{169 \cdot 5} = \frac{2(169\sqrt{24961} - 24961)}{845}$

Ответ: $r = \frac{2(169\sqrt{24961} - 24961)}{845}$ см.