Номер 927, страница 130 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

927. В равнобедренный треугольник $ABC$ вписана окружность с центром $Q$, точки $M$ и $N$ — середины равных дуг $AB$ и $AC$ описанной около треугольника $ABC$ окружности (рис. 294). Докажите, что четырехугольник $AMQN$ — ромб.

Рис. 294

Для доказательства того, что четырехугольник $AMQN$ является ромбом, необходимо показать, что все его четыре стороны равны: $AM = MQ = QN = NA$.

1. Докажем, что $AM = AN$.

По условию, треугольник $ABC$ — равнобедренный. Без ограничения общности, пусть $AB = AC$. В описанной окружности равные хорды стягивают равные дуги, следовательно, дуга $AB$ равна дуге $AC$ ($\cup AB = \cup AC$).

Точка $M$ — середина дуги $AB$, значит, $\cup AM = \frac{1}{2} \cup AB$.
Точка $N$ — середина дуги $AC$, значит, $\cup AN = \frac{1}{2} \cup AC$.

Так как $\cup AB = \cup AC$, то и их половины равны: $\cup AM = \cup AN$.

В одной окружности равные дуги стягиваются равными хордами, следовательно, $AM = AN$.

2. Докажем, что $AM = MQ$.

Мы докажем, что треугольник $AMQ$ является равнобедренным, показав равенство углов при его основании $AQ$, то есть $\angle MAQ = \angle MQA$.

Обозначим углы треугольника $ABC$: $\angle BAC = 2\alpha$, $\angle ABC = \angle ACB = 2\beta$.

Точка $Q$ — центр вписанной окружности (инцентр), следовательно, она лежит на пересечении биссектрис углов треугольника. Значит, $AQ$ — биссектриса угла $A$, и $\angle BAQ = \angle CAQ = \alpha$.

Найдем угол $\angle MAQ$: $\angle MAQ = \angle MAB + \angle BAQ$.

Угол $\angle MAB$ — вписанный угол, опирающийся на дугу $MB$. Найдем величину этой дуги. Дуга $AB$ стягивается вписанным углом $\angle ACB = 2\beta$, значит, градусная мера дуги $AB$ равна $2 \cdot 2\beta = 4\beta$.

Поскольку $M$ — середина дуги $AB$, то $\cup MB = \frac{1}{2} \cup AB = \frac{1}{2}(4\beta) = 2\beta$.

Величина вписанного угла $\angle MAB$ равна половине дуги, на которую он опирается: $\angle MAB = \frac{1}{2} \cup MB = \frac{1}{2}(2\beta) = \beta$.

Таким образом, $\angle MAQ = \angle MAB + \angle BAQ = \beta + \alpha$.

Теперь найдем угол $\angle MQA$. Известно, что биссектриса угла треугольника пересекает описанную окружность в точке, являющейся серединой дуги, стягиваемой противоположной стороной. Биссектриса $CQ$ угла $\angle C$ пересекает описанную окружность в середине дуги $AB$, то есть в точке $M$. Следовательно, точки $C$, $Q$ и $M$ лежат на одной прямой.

Тогда углы $\angle AQC$ и $\angle AQM$ являются смежными, и их сумма равна $180^\circ$.

Рассмотрим треугольник $AQC$. В нем $\angle QAC = \alpha$ и $\angle QCA = \beta$. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$, поэтому $\angle AQC = 180^\circ - (\alpha + \beta)$.

Тогда $\angle MQA = 180^\circ - \angle AQC = 180^\circ - (180^\circ - (\alpha + \beta)) = \alpha + \beta$.

Итак, в треугольнике $AMQ$ мы получили, что $\angle MAQ = \alpha + \beta$ и $\angle MQA = \alpha + \beta$. Так как два угла в треугольнике равны, он является равнобедренным, и стороны, лежащие против этих углов, равны: $AM = MQ$.

3. Заключение.

Из пункта 1 мы знаем, что $AM = AN$.
Из пункта 2 мы знаем, что $AM = MQ$.

Так как исходная задача симметрична относительно биссектрисы $AQ$ (поскольку $AB=AC$ и $\cup AB = \cup AC$), то аналогично можно доказать, что $AN = NQ$.

Собирая все равенства вместе, получаем: $AM = MQ = QN = NA$.

Четырехугольник, у которого все стороны равны, является ромбом. Следовательно, $AMQN$ — ромб, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.