Номер 921, страница 129 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

921. Найдите радиусы окружностей: описанной около равнобедренного треугольника с основанием 30 и боковой стороной 17 и вписанной в него.

Для решения задачи нам понадобятся основные характеристики равнобедренного треугольника: высота, площадь и полупериметр. Пусть дан равнобедренный треугольник со сторонами $a = 30$ (основание) и $b = 17$ (боковая сторона).

1. Найдем высоту треугольника.
Проведем высоту $h$ к основанию. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также и медианой. Она делит основание на два равных отрезка по $30 / 2 = 15$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной (гипотенуза), высотой и половиной основания (катеты). По теореме Пифагора: $h^2 + 15^2 = 17^2$
$h^2 + 225 = 289$
$h^2 = 289 - 225 = 64$
$h = \sqrt{64} = 8$

2. Найдем площадь треугольника (S).
Площадь треугольника вычисляется по формуле: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$
$S = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot 8 = 120$

Теперь мы можем найти радиусы описанной и вписанной окружностей.

Радиус описанной окружности (R)
Радиус описанной окружности для любого треугольника можно найти по формуле: $R = \frac{abc}{4S}$, где $a, b, c$ - стороны треугольника. В нашем случае стороны равны 30, 17, 17. $R = \frac{30 \cdot 17 \cdot 17}{4 \cdot 120} = \frac{8670}{480} = \frac{867}{48}$ Сократим дробь на 3: $R = \frac{289}{16} = 18 \frac{1}{16}$
Ответ: $18 \frac{1}{16}$.

Радиус вписанной окружности (r)
Радиус вписанной окружности находится по формуле: $r = \frac{S}{p}$, где $p$ - полупериметр треугольника. Сначала найдем полупериметр: $p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{30+17+17}{2} = \frac{64}{2} = 32$ Теперь вычислим радиус: $r = \frac{120}{32}$ Сократим дробь на 8: $r = \frac{15}{4} = 3 \frac{3}{4} = 3.75$
Ответ: $3 \frac{3}{4}$.