Номер 924, страница 130 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

924. Найдите углы четырехугольника, вписанного в окружность, учитывая, что углы между его противоположными сторонами равны $68^\circ$ и $32^\circ$ (рис. 293).

Рис. 293

Обозначим вершины четырехугольника как $A, B, C, D$ последовательно. Пусть его внутренние углы будут $∠A, ∠B, ∠C, ∠D$. Поскольку четырехугольник вписан в окружность, суммы его противоположных углов равны $180°$:
$∠A + ∠C = 180°$
$∠B + ∠D = 180°$

Пусть продолжения противоположных сторон $AD$ и $BC$ пересекаются в точке $M$. По условию, угол, образованный этими продолжениями, равен $68°$, то есть $∠AMB = 68°$. Пусть продолжения сторон $AB$ и $DC$ пересекаются в точке $N$. По условию, угол между ними равен $32°$, то есть $∠BNC = 32°$.

Рассмотрим треугольник $AMB$. Сумма его углов равна $180°$.
$∠MAB + ∠MBA + ∠AMB = 180°$
Угол $∠MAB$ является смежным с углом $∠A$ четырехугольника. Нет, это неверно. Угол $∠MAB$ и есть угол $∠A$ четырехугольника.
Угол $∠MBA$ является внешним углом при вершине $B$ вписанного четырехугольника $ABCD$. По свойству вписанного четырехугольника, внешний угол равен внутреннему противоположному углу. Таким образом, $∠MBA = ∠D$.
Подставим известные значения в формулу суммы углов треугольника $AMB$:
$∠A + ∠D + 68° = 180°$
Отсюда получаем первое уравнение: $∠A + ∠D = 180° - 68° = 112°$.

Теперь рассмотрим треугольник $BNC$. Сумма его углов также равна $180°$.
$∠NBC + ∠NCB + ∠BNC = 180°$
Угол $∠NBC$ — это угол $∠B$ четырехугольника.
Угол $∠NCB$ — это внешний угол при вершине $C$ вписанного четырехугольника $ABCD$. Он равен внутреннему противоположному углу $∠A$.
Подставим известные значения в формулу суммы углов треугольника $BNC$:
$∠B + ∠A + 32° = 180°$
Отсюда получаем второе уравнение: $∠A + ∠B = 180° - 32° = 148°$.

Мы получили систему из двух уравнений с тремя неизвестными:
1) $∠A + ∠D = 112°$
2) $∠A + ∠B = 148°$
Добавим к ней уравнение из свойства вписанного четырехугольника:
3) $∠B + ∠D = 180°$

Выразим $∠D$ и $∠B$ из первых двух уравнений через $∠A$:
$∠D = 112° - ∠A$
$∠B = 148° - ∠A$
Подставим эти выражения в третье уравнение:
$(148° - ∠A) + (112° - ∠A) = 180°$
$260° - 2∠A = 180°$
$2∠A = 260° - 180°$
$2∠A = 80°$
$∠A = 40°$

Зная $∠A$, находим остальные углы:
$∠B = 148° - ∠A = 148° - 40° = 108°$
$∠D = 112° - ∠A = 112° - 40° = 72°$
$∠C = 180° - ∠A = 180° - 40° = 140°$

Ответ: углы четырехугольника равны $40°, 108°, 140°, 72°$.