Номер 920, страница 129 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

920. Радиус вписанной в треугольник окружности равен 2 м, а радиус окружности, касающейся стороны и продолжений двух других сторон, — 6 м (рис. 292). Найдите высоту треугольника, проведенную к стороне, которой касаются обе окружности.

Рис. 292

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $r$ – радиус вписанной в треугольник окружности, по условию $r = 2$ м.
• $r_a$ – радиус вневписанной окружности, которая касается одной стороны треугольника (обозначим ее $a$) и продолжений двух других сторон. По условию $r_a = 6$ м.
• $h_a$ – высота треугольника, проведенная к стороне $a$, которую нам необходимо найти.
• $S$ – площадь треугольника.
• $a, b, c$ – длины сторон треугольника.
• $p = \frac{a+b+c}{2}$ – полупериметр треугольника.

Площадь треугольника можно выразить через радиусы вписанной и вневписанной окружностей, а также через высоту:
$S = p \cdot r$ (формула площади через радиус вписанной окружности)
$S = (p-a) \cdot r_a$ (формула площади через радиус вневписанной окружности)
$S = \frac{1}{2} a \cdot h_a$ (формула площади через высоту)

Из этих формул мы можем вывести соотношение, связывающее $r$, $r_a$ и $h_a$.
Из первой и второй формул выразим $1/r$ и $1/r_a$:
$\frac{1}{r} = \frac{p}{S}$
$\frac{1}{r_a} = \frac{p-a}{S}$

Найдем разность этих двух величин:
$\frac{1}{r} - \frac{1}{r_a} = \frac{p}{S} - \frac{p-a}{S} = \frac{p - (p-a)}{S} = \frac{a}{S}$

Теперь воспользуемся третьей формулой для площади, чтобы выразить отношение $a/S$:
Из $S = \frac{1}{2} a \cdot h_a$ следует, что $a = \frac{2S}{h_a}$.
Подставим это в наше соотношение:
$\frac{a}{S} = \frac{2S/h_a}{S} = \frac{2}{h_a}$

Таким образом, мы получили универсальную формулу:
$\frac{1}{r} - \frac{1}{r_a} = \frac{2}{h_a}$

Теперь подставим в эту формулу значения, данные в условии задачи: $r=2$ м и $r_a=6$ м.
$\frac{1}{2} - \frac{1}{6} = \frac{2}{h_a}$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю:
$\frac{3}{6} - \frac{1}{6} = \frac{2}{h_a}$
$\frac{2}{6} = \frac{2}{h_a}$
$\frac{1}{3} = \frac{2}{h_a}$

Из этой пропорции находим искомую высоту $h_a$:
$h_a = 2 \cdot 3 = 6$ м.

Ответ: 6 м.