Номер 928, страница 130 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

928. Точки $K$, $M$ и $N$ симметричны точке пересечения высот треугольника $ABC$ относительно его сторон. Докажите, что все окружности, описанные около треугольников с вершинами в точках $A$, $B$, $C$, $K$, $M$ и $N$, совпадают.

Пусть $H$ — точка пересечения высот (ортоцентр) треугольника $ABC$. По условию, точки $K, M, N$ симметричны точке $H$ относительно сторон $BC, AC$ и $AB$ соответственно.

Чтобы доказать, что все окружности, описанные около треугольников с вершинами в точках $A, B, C, K, M$ и $N$, совпадают, достаточно доказать, что точки $K, M, N$ лежат на окружности, описанной около треугольника $ABC$.

Рассмотрим точку $K$, симметричную ортоцентру $H$ относительно стороны $BC$.

1. По определению симметрии, прямая $BC$ является серединным перпендикуляром к отрезку $HK$. Следовательно, для любой точки на прямой $BC$, например для вершины $B$, выполняется равенство $HB = KB$. Аналогично, $HC = KC$.2. Рассмотрим треугольники $BHC$ и $BKC$. У них сторона $BC$ общая, $HB = KB$ и $HC = KC$. Следовательно, $\triangle BHC = \triangle BKC$ по трем сторонам.3. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: $\angle BHC = \angle BKC$.

Теперь найдем связь между углами $\angle BHC$ и $\angle BAC$.

1. Пусть $BB_1$ и $CC_1$ — высоты треугольника $ABC$, проведенные к сторонам $AC$ и $AB$ соответственно. Они пересекаются в ортоцентре $H$.2. Рассмотрим четырехугольник $AC_1HB_1$. В нем углы $\angle AC_1H$ и $\angle AB_1H$ прямые, так как $CC_1$ и $BB_1$ — высоты.3. Сумма углов четырехугольника равна $360^\circ$. Тогда $\angle C_1AB_1 + \angle C_1HB_1 = 360^\circ - \angle AC_1H - \angle AB_1H = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ = 180^\circ$.4. Угол $\angle C_1AB_1$ совпадает с углом $\angle BAC$. Угол $\angle C_1HB_1$ является вертикальным углу $\angle BHC$, следовательно, $\angle C_1HB_1 = \angle BHC$.5. Из этого следует, что $\angle BAC + \angle BHC = 180^\circ$.

Сопоставим полученные результаты. Мы доказали, что $\angle BHC = \angle BKC$ и $\angle BAC + \angle BHC = 180^\circ$. Заменив $\angle BHC$ на $\angle BKC$, получим:$\angle BAC + \angle BKC = 180^\circ$.

Сумма противоположных углов четырехугольника $ABKC$ равна $180^\circ$. Это означает, что четырехугольник $ABKC$ является вписанным в окружность. Следовательно, точка $K$ лежит на окружности, описанной около треугольника $ABC$.

Аналогичные рассуждения можно провести для точек $M$ и $N$:

• Для точки $M$, симметричной $H$ относительно $AC$, доказывается, что $\angle ABC + \angle AMC = 180^\circ$, значит, точка $M$ лежит на описанной окружности $\triangle ABC$.
• Для точки $N$, симметричной $H$ относительно $AB$, доказывается, что $\angle ACB + \angle ANB = 180^\circ$, значит, точка $N$ лежит на описанной окружности $\triangle ABC$.

Таким образом, все шесть точек $A, B, C, K, M, N$ лежат на одной и той же окружности — окружности, описанной около $\triangle ABC$. Поскольку любая окружность однозначно определяется тремя точками, не лежащими на одной прямой, то любая окружность, описанная около треугольника с вершинами в любых трех из этих шести точек, будет совпадать с описанной окружностью треугольника $ABC$.

Ответ: Утверждение доказано.