Номер 945, страница 132 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

945. На стороне $AC$ треугольника $ABC$ отмечена точка $K$ такая, что

$KC=3$ и $KB=2\sqrt{7}$. Найдите длину отрезка $AB$, учитывая, что

$\angle A = 60^\circ$ и $BC = \sqrt{31}$.

Для решения задачи применим теорему косинусов. Обозначим длину стороны $AB$ как $c$, а длину стороны $AC$ как $b$.

Сначала рассмотрим треугольник $KBC$. В нем известны длины всех трех сторон: $KC = 3$, $KB = 2\sqrt{7}$ и $BC = \sqrt{31}$. Используя теорему косинусов для стороны $KB$, мы можем найти косинус угла $C$ ($\angle KCB$):

$KB^2 = KC^2 + BC^2 - 2 \cdot KC \cdot BC \cdot \cos(\angle C)$

Подставим известные значения в формулу:

$(2\sqrt{7})^2 = 3^2 + (\sqrt{31})^2 - 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{31} \cdot \cos(\angle C)$

$28 = 9 + 31 - 6\sqrt{31} \cos(\angle C)$

$28 = 40 - 6\sqrt{31} \cos(\angle C)$

Из этого уравнения выразим $\cos(\angle C)$:

$6\sqrt{31} \cos(\angle C) = 40 - 28$

$6\sqrt{31} \cos(\angle C) = 12$

$\cos(\angle C) = \frac{12}{6\sqrt{31}} = \frac{2}{\sqrt{31}}$

Теперь рассмотрим основной треугольник $ABC$. Мы можем составить систему из двух уравнений с двумя неизвестными, $c$ и $b$, применив теорему косинусов дважды.

1. Применим теорему косинусов для стороны $BC$, используя известный угол $\angle A = 60^{\circ}$:

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\angle A)$

$(\sqrt{31})^2 = c^2 + b^2 - 2 \cdot c \cdot b \cdot \cos(60^{\circ})$

$31 = c^2 + b^2 - 2cb \cdot \frac{1}{2}$

$31 = c^2 + b^2 - cb \quad (1)$

2. Применим теорему косинусов для стороны $AB$, используя найденный ранее $\cos(\angle C)$:

$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos(\angle C)$

$c^2 = b^2 + (\sqrt{31})^2 - 2 \cdot b \cdot \sqrt{31} \cdot \frac{2}{\sqrt{31}}$

$c^2 = b^2 + 31 - 4b \quad (2)$

Теперь у нас есть система из двух уравнений. Подставим выражение для $c^2$ из уравнения (2) в уравнение (1):

$31 = (b^2 + 31 - 4b) + b^2 - cb$

$31 = 2b^2 + 31 - 4b - cb$

$0 = 2b^2 - 4b - cb$

Вынесем $b$ за скобки: $b(2b - 4 - c) = 0$.

Поскольку $b$ — это длина стороны $AC$, она не может быть равна нулю ($b \ne 0$). Следовательно, должно выполняться равенство:

$2b - 4 - c = 0$

Отсюда $c = 2b - 4$.

Подставим это выражение для $c$ обратно в уравнение (2):

$(2b - 4)^2 = b^2 + 31 - 4b$

$4b^2 - 16b + 16 = b^2 + 31 - 4b$

$3b^2 - 12b - 15 = 0$

Разделим обе части уравнения на 3:

$b^2 - 4b - 5 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Его корни: $b_1 = 5$ и $b_2 = -1$. Так как длина стороны не может быть отрицательной, то $b = 5$. Значит, $AC = 5$.

Наконец, найдем искомую длину отрезка $AB = c$:

$c = 2b - 4 = 2 \cdot 5 - 4 = 10 - 4 = 6$.

Ответ: 6