Номер 954, страница 134 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

954. В параллелепипеде боковое ребро, равное 8 см, наклонено к плоскости основания под углом $60^\circ$, диагональное сечение, содержащее большую диагональ, перпендикулярно плоскости основания и имеет площадь $72 \text{ см}^2$. Найдите площадь другого диагонального сечения, учитывая, что основанием параллелепипеда является ромб со стороной 6 см.

Для решения задачи выполним следующие шаги: найдем высоту параллелепипеда, затем диагонали ромба в основании, и после этого вычислим площадь второго диагонального сечения.

1. Нахождение высоты параллелепипеда и диагоналей его основания.

Пусть $l = 8$ см — длина бокового ребра, а $\alpha = 60^\circ$ — угол его наклона к плоскости основания. Высота параллелепипеда $H$ равна:

$H = l \cdot \sin(\alpha) = 8 \cdot \sin(60^\circ) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3} \text{ см.}$

Основанием параллелепипеда является ромб со стороной $a = 6$ см. Пусть $d_1$ — его большая диагональ. Диагональное сечение, содержащее $d_1$, перпендикулярно плоскости основания. Это означает, что его площадь $S_1$ равна произведению диагонали $d_1$ на высоту параллелепипеда $H$.

Из условия $S_1 = 72 \text{ см}^2$, находим $d_1$:

$S_1 = d_1 \cdot H$

$72 = d_1 \cdot 4\sqrt{3} \implies d_1 = \frac{72}{4\sqrt{3}} = \frac{18}{\sqrt{3}} = \frac{18\sqrt{3}}{3} = 6\sqrt{3} \text{ см.}$

Меньшую диагональ $d_2$ найдем из свойства диагоналей и стороны ромба: $d_1^2 + d_2^2 = 4a^2$.

$(6\sqrt{3})^2 + d_2^2 = 4 \cdot 6^2$

$36 \cdot 3 + d_2^2 = 4 \cdot 36$

$108 + d_2^2 = 144$

$d_2^2 = 144 - 108 = 36 \implies d_2 = 6 \text{ см.}$

2. Нахождение площади второго диагонального сечения.

Второе диагональное сечение — это параллелограмм, построенный на меньшей диагонали основания $\vec{d_2}$ и боковом ребре $\vec{l}$. Его площадь $S_2$ равна модулю их векторного произведения: $S_2 = |\vec{d_2} \times \vec{l}|$.

Представим вектор бокового ребра $\vec{l}$ как сумму его проекции на плоскость основания $\vec{l}_{proj}$ и вектора высоты $\vec{H}$, перпендикулярного основанию: $\vec{l} = \vec{l}_{proj} + \vec{H}$.

Длина проекции бокового ребра на плоскость основания равна:

$|\vec{l}_{proj}| = l \cdot \cos(60^\circ) = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4 \text{ см.}$

Так как сечение с большей диагональю $d_1$ перпендикулярно основанию, проекция бокового ребра $\vec{l}_{proj}$ параллельна вектору большей диагонали $\vec{d_1}$.

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны ($\vec{d_1} \perp \vec{d_2}$), следовательно, вектор проекции также перпендикулярен вектору меньшей диагонали: $\vec{l}_{proj} \perp \vec{d_2}$. Вектор высоты $\vec{H}$ по определению перпендикулярен всей плоскости основания, а значит, и вектору $\vec{d_2}$ ($\vec{H} \perp \vec{d_2}$).

Тогда площадь $S_2 = |\vec{d_2} \times \vec{l}| = |\vec{d_2} \times (\vec{l}_{proj} + \vec{H})| = |\vec{d_2} \times \vec{l}_{proj} + \vec{d_2} \times \vec{H}|$.

Так как векторы $\vec{d_2}$ и $\vec{l}_{proj}$ перпендикулярны, и векторы $\vec{d_2}$ и $\vec{H}$ перпендикулярны, то результирующие векторы $\vec{d_2} \times \vec{l}_{proj}$ и $\vec{d_2} \times \vec{H}$ также оказываются взаимно перпендикулярными. Их модули равны:

$|\vec{d_2} \times \vec{l}_{proj}| = |\vec{d_2}| \cdot |\vec{l}_{proj}| \cdot \sin(90^\circ) = 6 \cdot 4 = 24$.

$|\vec{d_2} \times \vec{H}| = |\vec{d_2}| \cdot |\vec{H}| \cdot \sin(90^\circ) = 6 \cdot 4\sqrt{3} = 24\sqrt{3}$.

Поскольку векторы $\vec{d_2} \times \vec{l}_{proj}$ и $\vec{d_2} \times \vec{H}$ перпендикулярны, модуль их суммы находится по теореме Пифагора:

$S_2 = \sqrt{(|\vec{d_2} \times \vec{l}_{proj}|)^2 + (|\vec{d_2} \times \vec{H}|)^2} = \sqrt{24^2 + (24\sqrt{3})^2}$

$S_2 = \sqrt{576 + 576 \cdot 3} = \sqrt{576 \cdot (1+3)} = \sqrt{576 \cdot 4} = \sqrt{2304} = 48 \text{ см}^2$.

Ответ: $48 \text{ см}^2$.