Номер 961, страница 135 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

961. В основании призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ лежит прямоугольник $ABCD$. Острые углы $D_1DA$ и $D_1DC$ равны, угол между ребром $DD_1$ и плоскостью основания призмы равен $\arccos \frac{1}{\sqrt{13}}$.

а $CD = 5\sqrt{6}$. Все грани призмы касаются некоторой сферы (рис. 304). Найдите $BC$ и угол между плоскостями $D_1DC$ и $ABC$, радиус сферы, а также расстояние от ее центра до точки $D$.

Пусть $H$ - высота призмы, $R$ - радиус вписанной сферы. Так как сфера касается верхнего и нижнего оснований, ее диаметр равен высоте призмы, то есть $H = 2R$. Центр сферы $O$ равноудален от всех граней призмы на расстояние $R$. Пусть $\alpha = \arccos \frac{1}{\sqrt{13}}$ - угол между ребром $DD_1$ и плоскостью основания $ABC$. Тогда $\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{13}}$. Найдем синус и тангенс этого угла:$\sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = \sqrt{1 - \frac{1}{13}} = \sqrt{\frac{12}{13}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{13}}$.$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = 2\sqrt{3}$. Высота призмы связана с длиной бокового ребра $DD_1$ соотношением $H = DD_1 \sin \alpha$.

Пусть $\beta_1$ - двугранный угол при ребре $CD$ (угол между плоскостями $D_1DC$ и $ABC$), а $\beta_2$ - двугранный угол при ребре $AD$ (угол между плоскостями $D_1DA$ и $ABC$).Поскольку центр сферы $O$ равноудален от грани $CDD_1C_1$ и основания $ABCD$ (на расстояние $R$), он лежит в биссекторной плоскости двугранного угла $\beta_1$. Аналогично, он лежит в биссекторной плоскости двугранного угла $\beta_2$. Проекция центра сферы $O$ на основание $ABCD$, точка $O_{base}$, является центром прямоугольника $ABCD$. Расстояние от $O_{base}$ до стороны $CD$ равно $\frac{AD}{2} = \frac{BC}{2}$, а до стороны $AD$ равно $\frac{CD}{2}$. Расстояние от проекции центра сферы на основание до ребра этого основания связано с радиусом сферы и двугранным углом при этом ребре формулой: $d = R \cot(\beta/2)$. Таким образом, получаем систему:$\frac{CD}{2} = R \cot(\beta_2/2)$$\frac{BC}{2} = R \cot(\beta_1/2)$

Рассмотрим высоты боковых граней $h_1$ (для $CDD_1C_1$) и $h_2$ (для $ADD_1A_1$), проведенные из вершины $D_1$.$h_1 = DD_1 \sin(\angle D_1DC)$$h_2 = DD_1 \sin(\angle D_1DA)$По условию углы $\angle D_1DA$ и $\angle D_1DC$ равны и острые, значит $h_1=h_2$. Синус двугранного угла при ребре основания связан с высотой призмы $H$ и высотой соответствующей боковой грани $h$ формулой $\sin \beta = H/h$. Тогда $\sin \beta_1 = H/h_1$ и $\sin \beta_2 = H/h_2$. Так как $H, h_1, h_2$ положительны и $h_1=h_2$, то $\sin \beta_1 = \sin \beta_2$. Поскольку призму можно вписать сферу, боковые грани наклонены "внутрь", так что углы $\beta_1$ и $\beta_2$ острые. Следовательно, $\beta_1 = \beta_2$.

Найти BC

Из равенства $\beta_1 = \beta_2$ следует, что $\cot(\beta_1/2) = \cot(\beta_2/2)$. Тогда из системы уравнений выше получаем:$\frac{CD}{2R} = \frac{BC}{2R} \implies CD = BC$. Так как основание $ABCD$ - прямоугольник, у которого смежные стороны равны, то $ABCD$ - квадрат. Дано $CD = 5\sqrt{6}$. Следовательно, $BC = 5\sqrt{6}$.
Ответ: $BC = 5\sqrt{6}$.

Найти угол между плоскостями $D_1DC$ и $ABC$

Этот угол - $\beta_1$. Пусть $H_{proj}$ - проекция вершины $D_1$ на плоскость основания $ABC$. Тогда $D_1H_{proj} = H = 2R$. Угол между ребром $DD_1$ и плоскостью основания - это $\angle D_1DH_{proj} = \alpha$. Из прямоугольного треугольника $D_1DH_{proj}$: $DH_{proj} = \frac{D_1H_{proj}}{\tan \alpha} = \frac{2R}{2\sqrt{3}} = \frac{R}{\sqrt{3}}$. Так как двугранные углы при ребрах $CD$ и $AD$ равны, точка $H_{proj}$ равноудалена от прямых $CD$ и $AD$, а значит, лежит на биссектрисе угла $\angle ADC$. Поскольку $ABCD$ - квадрат, биссектриса угла $\angle ADC$ - это диагональ $BD$. Проведем из точки $H_{proj}$ перпендикуляр $H_{proj}K$ к стороне $CD$. Тогда $K$ лежит на $CD$. В треугольнике $DKH_{proj}$, угол $\angle KDH_{proj} = \angle CDB = 45^\circ$ (так как $BD$ - диагональ квадрата). Треугольник $DKH_{proj}$ прямоугольный ($\angle DKH_{proj}$ может быть не прямым, но расстояние от $H_{proj}$ до $CD$ - это длина перпендикуляра).Расстояние от точки $H_{proj}$ до $CD$ равно $H_{proj}K = DH_{proj} \sin(45^\circ) = \frac{R}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{R}{\sqrt{6}}$. По теореме о трех перпендикулярах, $D_1K \perp CD$. Следовательно, угол $\angle D_1KH_{proj}$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $D_1DC$ и $ABC$, то есть $\angle D_1KH_{proj} = \beta_1$. В прямоугольном треугольнике $D_1KH_{proj}$:$\tan \beta_1 = \frac{D_1H_{proj}}{H_{proj}K} = \frac{2R}{R/\sqrt{6}} = 2\sqrt{6}$. Искомый угол равен $\arctan(2\sqrt{6})$.
Ответ: $\arctan(2\sqrt{6})$.

Найти радиус сферы

Мы установили связь $\frac{BC}{2} = R \cot(\beta_1/2)$. Подставим $BC = 5\sqrt{6}$:$R = \frac{5\sqrt{6}}{2\cot(\beta_1/2)} = \frac{5\sqrt{6}}{2} \tan(\beta_1/2)$. Найдем $\tan(\beta_1/2)$, зная, что $\tan \beta_1 = 2\sqrt{6}$. Используем формулу тангенса двойного угла: $\tan \beta_1 = \frac{2\tan(\beta_1/2)}{1 - \tan^2(\beta_1/2)}$. Пусть $t = \tan(\beta_1/2)$.$2\sqrt{6} = \frac{2t}{1-t^2} \implies \sqrt{6}(1-t^2) = t \implies \sqrt{6}t^2 + t - \sqrt{6} = 0$. Решаем квадратное уравнение относительно $t$:$t = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(\sqrt{6})(-\sqrt{6})}}{2\sqrt{6}} = \frac{-1 \pm \sqrt{1+24}}{2\sqrt{6}} = \frac{-1 \pm 5}{2\sqrt{6}}$. Так как угол $\beta_1$ острый, то и $\beta_1/2$ острый, поэтому $t > 0$.$t = \tan(\beta_1/2) = \frac{4}{2\sqrt{6}} = \frac{2}{\sqrt{6}}$. Теперь находим радиус:$R = \frac{5\sqrt{6}}{2} \cdot t = \frac{5\sqrt{6}}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{6}} = 5$.
Ответ: $R=5$.

Найти расстояние от ее центра до точки D

Введем систему координат с началом в точке $D(0,0,0)$. Ось $x$ направим вдоль ребра $DC$, ось $y$ - вдоль ребра $DA$. Координаты вершин основания: $D(0,0,0)$, $C(5\sqrt{6}, 0, 0)$, $A(0, 5\sqrt{6}, 0)$. Центр сферы $O$ имеет высоту $R$ над плоскостью основания, так что его $z$-координата равна $R=5$. Проекция центра сферы $O$ на основание $ABCD$ - это точка $O_{base}$, которая является центром квадрата $ABCD$. Координаты $O_{base}$ равны $(\frac{CD}{2}, \frac{AD}{2}) = (\frac{5\sqrt{6}}{2}, \frac{5\sqrt{6}}{2})$. Таким образом, координаты центра сферы $O$ равны $(\frac{5\sqrt{6}}{2}, \frac{5\sqrt{6}}{2}, 5)$. Расстояние от центра $O$ до точки $D(0,0,0)$ найдем по формуле расстояния между двумя точками:$OD = \sqrt{(\frac{5\sqrt{6}}{2}-0)^2 + (\frac{5\sqrt{6}}{2}-0)^2 + (5-0)^2} = \sqrt{\frac{25 \cdot 6}{4} + \frac{25 \cdot 6}{4} + 25}$.$OD = \sqrt{\frac{150}{4} + \frac{150}{4} + 25} = \sqrt{\frac{75}{2} + \frac{75}{2} + 25} = \sqrt{75 + 25} = \sqrt{100} = 10$.
Ответ: $10$.