Номер 1004, страница 140 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

Рис. 312

1004. Биссектриса прямоугольного треугольника разделяет гипотенузу на части длинами $7 \text{ см}$ и $24 \text{ см}$ (рис. 312). Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник.

Пусть дан прямоугольный треугольник $\triangle ABC$ с прямым углом при вершине $C$. Катеты треугольника — $AC = b$ и $BC = a$, гипотенуза — $AB = c$.

Биссектриса прямого угла $CL$ делит гипотенузу $AB$ на отрезки $AL$ и $LB$. По условию задачи, длины этих отрезков равны 7 см и 24 см. Пусть $AL = 7$ см и $LB = 24$ см.

Длина гипотенузы $c$ равна сумме длин этих отрезков:

$c = AL + LB = 7 + 24 = 31$ см.

Воспользуемся свойством биссектрисы угла треугольника: биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Для нашего треугольника это означает:

$\frac{AC}{BC} = \frac{AL}{LB}$

Подставим известные значения:

$\frac{b}{a} = \frac{7}{24}$

Отсюда получаем соотношение между катетами: $b = \frac{7}{24}a$.

Теперь применим теорему Пифагора для прямоугольного треугольника $\triangle ABC$:

$a^2 + b^2 = c^2$

Подставим в это уравнение выражения для $b$ и $c$:

$a^2 + (\frac{7}{24}a)^2 = 31^2$

$a^2 + \frac{49}{576}a^2 = 961$

$a^2(1 + \frac{49}{576}) = 961$

$a^2(\frac{576 + 49}{576}) = 961$

$a^2(\frac{625}{576}) = 961$

Выразим $a^2$:

$a^2 = 961 \cdot \frac{576}{625}$

Теперь найдем длину катета $a$:

$a = \sqrt{961 \cdot \frac{576}{625}} = \sqrt{961} \cdot \sqrt{\frac{576}{625}} = 31 \cdot \frac{24}{25} = \frac{744}{25}$ см.

Найдем длину второго катета $b$:

$b = \frac{7}{24}a = \frac{7}{24} \cdot \frac{744}{25} = \frac{7 \cdot (31 \cdot 24)}{24 \cdot 25} = \frac{7 \cdot 31}{25} = \frac{217}{25}$ см.

Радиус $r$ вписанной в прямоугольный треугольник окружности можно найти по формуле:

$r = \frac{a + b - c}{2}$

Подставим найденные длины сторон в формулу:

$r = \frac{\frac{744}{25} + \frac{217}{25} - 31}{2} = \frac{\frac{744 + 217}{25} - \frac{31 \cdot 25}{25}}{2} = \frac{\frac{961}{25} - \frac{775}{25}}{2}$

$r = \frac{\frac{961 - 775}{25}}{2} = \frac{\frac{186}{25}}{2} = \frac{186}{50} = \frac{93}{25}$ см.

Переведем полученную дробь в десятичный вид:

$r = 3,72$ см.

Ответ: 3,72 см.