Номер 1003, страница 139 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1003. Биссектриса прямоугольного треугольника разделяет катет на части длинами 60 м и 61 м (рис. 311). Найдите периметр треугольника.

Рис. 311

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$ ($\angle C = 90^\circ$). Катеты треугольника — $AC$ и $BC$, гипотенуза — $AB$. Обозначим их длины как $b$, $a$ и $c$ соответственно, то есть $a = BC$, $b = AC$ и $c = AB$.

По условию задачи, биссектриса одного из острых углов делит противолежащий катет на отрезки длиной 60 м и 61 м. Рассмотрим случай, когда проведена биссектриса $AD$ из вершины $A$, которая пересекает катет $BC$ в точке $D$.

Длина катета $BC$ в этом случае будет равна сумме длин отрезков, на которые его делит биссектриса:

$a = BC = CD + DB = 60 + 61 = 121$ м.

Согласно свойству биссектрисы угла треугольника, она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам. В нашем случае:

$\frac{AB}{AC} = \frac{DB}{CD}$

Используя наши обозначения, получаем:

$\frac{c}{b} = \frac{DB}{CD}$

Так как в прямоугольном треугольнике гипотенуза $c$ всегда длиннее катета $b$, то отношение $\frac{c}{b}$ должно быть больше 1. Следовательно, и отношение отрезков $\frac{DB}{CD}$ также должно быть больше 1. Из двух возможных вариантов ($\frac{60}{61}$ и $\frac{61}{60}$) мы должны выбрать тот, что больше единицы:

$\frac{DB}{CD} = \frac{61}{60}$

Это означает, что $DB = 61$ м, а $CD = 60$ м. Таким образом, мы получаем соотношение между гипотенузой и вторым катетом:

$\frac{c}{b} = \frac{61}{60} \implies c = \frac{61}{60}b$

Теперь применим теорему Пифагора для прямоугольного треугольника $ABC$:

$a^2 + b^2 = c^2$

Подставим известные значения $a=121$ и выражение для $c$:

$121^2 + b^2 = \left(\frac{61}{60}b\right)^2$

$121^2 + b^2 = \frac{61^2}{60^2}b^2$

Выразим $b^2$:

$121^2 = \frac{61^2}{60^2}b^2 - b^2$

$121^2 = b^2 \left(\frac{61^2}{60^2} - 1\right)$

$121^2 = b^2 \left(\frac{61^2 - 60^2}{60^2}\right)$

Используем формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$ для числителя дроби:

$61^2 - 60^2 = (61 - 60)(61 + 60) = 1 \cdot 121 = 121$

Подставим это значение обратно в уравнение:

$121^2 = b^2 \frac{121}{60^2}$

Разделим обе части уравнения на 121:

$121 = \frac{b^2}{60^2}$

$b^2 = 121 \cdot 60^2$

Теперь найдем $b$, взяв квадратный корень:

$b = \sqrt{121 \cdot 60^2} = \sqrt{11^2 \cdot 60^2} = 11 \cdot 60 = 660$ м.

Мы нашли длину второго катета: $b = 660$ м. Теперь найдем длину гипотенузы $c$:

$c = \frac{61}{60}b = \frac{61}{60} \cdot 660 = 61 \cdot 11 = 671$ м.

Итак, мы имеем прямоугольный треугольник со сторонами:

• катет $a = 121$ м
• катет $b = 660$ м
• гипотенуза $c = 671$ м

Периметр треугольника $P$ равен сумме длин всех его сторон:

$P = a + b + c = 121 + 660 + 671 = 1452$ м.

(Примечание: если бы биссектриса выходила из другого острого угла, катеты поменялись бы местами, но их длины остались бы 121 м и 660 м, а периметр был бы тем же).

Ответ: 1452 м.