Номер 1008, страница 140 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1008. В плоскости правильного треугольника ABC отмечена точка K. Докажите, что каждый из трех отрезков $KA$, $KB$, $KC$ не больше суммы двух других.

Для доказательства утверждения мы воспользуемся методом геометрических преобразований, а именно поворотом плоскости. Нам необходимо доказать три неравенства, которые представляют собой неравенство треугольника для отрезков $KA$, $KB$ и $KC$: $KA \le KB + KC$, $KB \le KA + KC$ и $KC \le KA + KB$.

Доказательство неравенства $KA \le KB + KC$

Рассмотрим поворот плоскости вокруг вершины $A$ на угол $60^\circ$. Поскольку треугольник $ABC$ является правильным, его внутренний угол $\angle BAC$ равен $60^\circ$. При таком повороте (например, против часовой стрелки) вершина $B$ перейдет в вершину $C$.

Пусть точка $K'$ – это образ точки $K$ при данном повороте. То есть, $K' = R_A^{60^\circ}(K)$.

По свойству поворота, расстояние от центра поворота до любой точки сохраняется. Следовательно, $AK = AK'$.

Также по свойству поворота, угол между отрезком, соединяющим центр поворота с исходной точкой ($AK$), и отрезком, соединяющим центр поворота с образом точки ($AK'$), равен углу поворота. Таким образом, $\angle KAK' = 60^\circ$.

Рассмотрим треугольник $AKK'$. Он является равнобедренным ($AK = AK'$) с углом при вершине $A$ равным $60^\circ$. Следовательно, треугольник $AKK'$ – равносторонний. Отсюда следует, что все его стороны равны: $KA = AK' = KK'$.

Поворот является движением, а значит, сохраняет расстояния между любыми двумя точками. Отрезок $KB$ при повороте вокруг точки $A$ на $60^\circ$ переходит в отрезок $K'C$. Следовательно, их длины равны: $KB = K'C$.

Теперь рассмотрим точки $K$, $C$ и $K'$. Эти три точки образуют треугольник $KCK'$ (или лежат на одной прямой, если треугольник вырожденный). Для сторон этого треугольника справедливо неравенство треугольника:

$KK' \le KC + K'C$

Подставим в это неравенство ранее полученные равенства $KK' = KA$ и $K'C = KB$:

$KA \le KC + KB$

Первое неравенство доказано.

Доказательство неравенств $KB \le KA + KC$ и $KC \le KA + KB$

Два других неравенства доказываются аналогичным образом, используя повороты вокруг других вершин.

Для доказательства неравенства $KB \le KA + KC$ выполним поворот плоскости вокруг вершины $B$ на угол $60^\circ$. При этом повороте точка $A$ перейдет в точку $C$. Пусть точка $K''$ – образ точки $K$. Тогда треугольник $KBK''$ будет равносторонним, и $KB = KK''$. Отрезок $KA$ перейдет в отрезок $K''C$, откуда $KA = K''C$. Применив неравенство треугольника к точкам $K$, $C$, $K''$, получим $KK'' \le KC + K''C$, что равносильно $KB \le KC + KA$.

Для доказательства неравенства $KC \le KA + KB$ выполним поворот плоскости вокруг вершины $C$ на угол $60^\circ$. При этом повороте точка $B$ перейдет в точку $A$. Пусть точка $K'''$ – образ точки $K$. Тогда треугольник $KCK'''$ будет равносторонним, и $KC = KK'''$. Отрезок $KB$ перейдет в отрезок $K'''A$, откуда $KB = K'''A$. Применив неравенство треугольника к точкам $K$, $A$, $K'''$, получим $KK''' \le KA + K'''A$, что равносильно $KC \le KA + KB$.

Таким образом, мы доказали, что каждый из трех отрезков $KA$, $KB$, $KC$ не больше суммы двух других. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.