Номер 1012, страница 140 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1012. Основания равнобедренной трапеции равны 126 см и 66 см, а боковая сторона — 50 см (рис. 314). Найдите радиус окружности, описанной около трапеции.

Рис. 314

Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. По условию:

• Большее основание $AD = a = 126$ см
• Меньшее основание $BC = b = 66$ см
• Боковая сторона $AB = CD = c = 50$ см

Окружность, описанная около трапеции, является также окружностью, описанной около треугольника, образованного тремя ее вершинами, например, треугольника $ABD$. Радиус описанной окружности для треугольника можно найти по формуле: $R = \frac{xyz}{4S}$, где $x, y, z$ — стороны треугольника, а $S$ — его площадь. Для треугольника $ABD$ стороны: $AB=50$ см, $AD=126$ см. Найдем третью сторону (диагональ трапеции $BD$) и площадь треугольника $S_{ABD}$.

Проведем из вершины $B$ высоту $BH$ на основание $AD$. В равнобедренной трапеции отрезок $AH$, отсекаемый высотой от большего основания, равен полуразности оснований: $AH = \frac{AD - BC}{2} = \frac{126 - 66}{2} = \frac{60}{2} = 30$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$. По теореме Пифагора найдем высоту $BH$: $BH^2 = AB^2 - AH^2$ $BH^2 = 50^2 - 30^2 = 2500 - 900 = 1600$ $BH = \sqrt{1600} = 40$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $BHD$. Катет $BH = 40$ см. Второй катет $HD$ можно найти как: $HD = AD - AH = 126 - 30 = 96$ см.

По теореме Пифагора найдем гипотенузу $BD$ (диагональ трапеции): $BD^2 = BH^2 + HD^2$ $BD^2 = 40^2 + 96^2 = 1600 + 9216 = 10816$ $BD = \sqrt{10816} = 104$ см.

Теперь у нас есть все необходимое для нахождения радиуса окружности, описанной около треугольника $ABD$. Стороны треугольника $ABD$: $AB = 50$ см, $AD = 126$ см, $BD = 104$ см.

Площадь треугольника $S_{ABD}$ можно найти по формуле: $S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot BH$ $S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot 126 \cdot 40 = 63 \cdot 40 = 2520$ см².

Подставим найденные значения в формулу для радиуса описанной окружности: $R = \frac{AB \cdot AD \cdot BD}{4 \cdot S_{ABD}}$ $R = \frac{50 \cdot 126 \cdot 104}{4 \cdot 2520}$

Выполним вычисления: $R = \frac{655200}{10080} = 65$ см.

Ответ: 65 см.