Номер 1025, страница 142 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1025. В полуокружность с радиусом $R$ вписаны три окружности, две из которых равны и касаются третьей. Найдите их радиусы.

Решение

Рассмотрим задачу в системе координат. Пусть центр полуокружности $O$ находится в начале координат $(0, 0)$, а ее диаметр лежит на оси абсцисс. Тогда уравнение полуокружности имеет вид $x^2 + y^2 = R^2$ при $y \geq 0$.

В полуокружность вписаны три окружности, касающиеся ее дуги и диаметра. Из соображений симметрии, одна из окружностей (третья, которой касаются две равные) должна быть расположена по центру, а две равные окружности — симметрично относительно оси ординат.

1. Найдем радиус центральной окружности.

Пусть ее радиус равен $r_1$. Так как она касается диаметра (оси $Ox$), ее центр $O_1$ будет находиться на оси $Oy$ на высоте $r_1$. Координаты центра $O_1(0, r_1)$.
Эта окружность также касается дуги большой полуокружности внутренним образом. Условие касания двух окружностей (одна внутри другой) заключается в том, что расстояние между их центрами равно разности их радиусов.
Расстояние между центром полуокружности $O(0, 0)$ и центром вписанной окружности $O_1(0, r_1)$ равно $\sqrt{(0-0)^2 + (r_1-0)^2} = r_1$.
Разность радиусов равна $R - r_1$.
Приравнивая эти значения, получаем уравнение:
$r_1 = R - r_1$
$2r_1 = R$
$r_1 = \frac{R}{2}$

2. Найдем радиусы двух равных окружностей.

Пусть радиус каждой из этих окружностей равен $r$. Так как они касаются диаметра, их центры $O_2$ и $O_3$ находятся на высоте $r$. Из-за симметрии их абсциссы будут противоположны. Пусть их координаты $O_2(-x_0, r)$ и $O_3(x_0, r)$.
Рассмотрим окружность с центром $O_3(x_0, r)$. Для нее выполняются два условия касания:

а) Касание с большой полуокружностью.
Расстояние между центрами $O(0, 0)$ и $O_3(x_0, r)$ равно разности радиусов $R-r$.
$\sqrt{(x_0-0)^2 + (r-0)^2} = R - r$
$\sqrt{x_0^2 + r^2} = R - r$
Возведем обе части в квадрат:
$x_0^2 + r^2 = (R - r)^2$
$x_0^2 + r^2 = R^2 - 2Rr + r^2$
$x_0^2 = R^2 - 2Rr$ (1)

б) Касание с центральной окружностью.
Окружности с центрами $O_1(0, r_1)$ и $O_3(x_0, r)$ касаются друг друга внешним образом. Условие внешнего касания: расстояние между центрами равно сумме радиусов.
Расстояние между центрами $O_1(0, r_1)$ и $O_3(x_0, r)$ равно $r_1 + r$.
$\sqrt{(x_0-0)^2 + (r-r_1)^2} = r_1 + r$
Возведем обе части в квадрат:
$x_0^2 + (r-r_1)^2 = (r+r_1)^2$
$x_0^2 + r^2 - 2rr_1 + r_1^2 = r^2 + 2rr_1 + r_1^2$
$x_0^2 = 4rr_1$ (2)

Теперь у нас есть система из двух уравнений для $x_0^2$. Приравняем правые части уравнений (1) и (2):
$R^2 - 2Rr = 4rr_1$
Мы уже нашли, что $r_1 = R/2$. Подставим это значение в уравнение:
$R^2 - 2Rr = 4r(\frac{R}{2})$
$R^2 - 2Rr = 2Rr$
$R^2 = 4Rr$
Так как $R \neq 0$, мы можем разделить обе части на $R$:
$R = 4r$
$r = \frac{R}{4}$

Таким образом, радиус центральной окружности равен $R/2$, а радиусы двух одинаковых боковых окружностей равны $R/4$.

Ответ: радиусы окружностей равны $\frac{R}{2}$, $\frac{R}{4}$ и $\frac{R}{4}$.