Номер 1031, страница 143 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1031. Стороны $AB$, $BC$ и $AC$ треугольника $ABC$ равны 15 см, 13 см и 14 см соответственно. Через точки $B$ и $C$ проведены две прямые: первая содержит биссектрису угла $B$, вторая перпендикулярна $AC$. Они пересекаются в точке $K$. Найдите отрезок $CK$.

Для решения задачи воспользуемся методами аналитической геометрии, разместив треугольник в системе координат. Это позволит нам найти уравнения прямых и их точку пересечения.

1. Размещение треугольника в системе координат

Поместим вершину C в начало координат $C(0, 0)$. Сторону AC расположим вдоль оси Ox. Тогда, поскольку длина $AC = 14$ см, координаты вершины A будут $A(14, 0)$.

Найдем координаты вершины B$(x_B, y_B)$. Мы знаем длины сторон BC и AB:

• Расстояние от C(0, 0) до B$(x_B, y_B)$ равно BC = 13 см. Уравнение: $x_B^2 + y_B^2 = 13^2 = 169$.
• Расстояние от A(14, 0) до B$(x_B, y_B)$ равно AB = 15 см. Уравнение: $(x_B - 14)^2 + y_B^2 = 15^2 = 225$.

Решим систему из этих двух уравнений. Из первого уравнения выразим $y_B^2 = 169 - x_B^2$ и подставим во второе:
$(x_B - 14)^2 + (169 - x_B^2) = 225$
$x_B^2 - 28x_B + 196 + 169 - x_B^2 = 225$
$365 - 28x_B = 225$
$28x_B = 365 - 225 = 140$
$x_B = \frac{140}{28} = 5$

Теперь найдем $y_B$:
$y_B^2 = 169 - x_B^2 = 169 - 5^2 = 169 - 25 = 144$
$y_B = 12$ (мы можем выбрать положительное значение, расположив треугольник в верхней полуплоскости).

Таким образом, координаты вершин: $A(14, 0)$, $B(5, 12)$, $C(0, 0)$.

2. Нахождение уравнений прямых

Теперь найдем уравнения двух прямых, которые пересекаются в точке K.

• Прямая, проходящая через C и перпендикулярная AC.
  Поскольку сторона AC лежит на оси Ox, прямая, перпендикулярная ей и проходящая через начало координат C(0, 0), — это ось Oy. Ее уравнение: $x=0$.
• Прямая, содержащая биссектрису угла B.
  Эта прямая проходит через точку $B(5, 12)$. Чтобы найти ее угловой коэффициент, найдем направляющий вектор биссектрисы. Биссектриса угла B направлена по сумме единичных векторов, идущих вдоль сторон BA и BC.
  Вектор $\vec{BA} = A - B = (14-5, 0-12) = (9, -12)$. Его длина $|\vec{BA}| = \sqrt{9^2 + (-12)^2} = \sqrt{81+144} = \sqrt{225} = 15$.
  Вектор $\vec{BC} = C - B = (0-5, 0-12) = (-5, -12)$. Его длина $|\vec{BC}| = \sqrt{(-5)^2 + (-12)^2} = \sqrt{25+144} = \sqrt{169} = 13$.
  Единичные векторы:
  $\vec{e_{BA}} = \frac{\vec{BA}}{|\vec{BA}|} = \frac{1}{15}(9, -12) = (\frac{3}{5}, -\frac{4}{5})$
  $\vec{e_{BC}} = \frac{\vec{BC}}{|\vec{BC}|} = \frac{1}{13}(-5, -12) = (-\frac{5}{13}, -\frac{12}{13})$
  Направляющий вектор биссектрисы $\vec{d}$ сонаправлен с их суммой:
  $\vec{d} \sim \vec{e_{BA}} + \vec{e_{BC}} = (\frac{3}{5} - \frac{5}{13}, -\frac{4}{5} - \frac{12}{13}) = (\frac{39-25}{65}, \frac{-52-60}{65}) = (\frac{14}{65}, -\frac{112}{65})$
  Для удобства возьмем коллинеарный вектор, умножив на $65/14$: $(1, -8)$.
  Итак, направляющий вектор прямой, содержащей биссектрису, равен $(1, -8)$. Ее угловой коэффициент $m = \frac{-8}{1} = -8$.
  Уравнение прямой, проходящей через $B(5, 12)$ с угловым коэффициентом -8:
  $y - 12 = -8(x - 5)$
  $y - 12 = -8x + 40$
  $y = -8x + 52$

3. Нахождение точки пересечения K и отрезка CK

Точка K является пересечением прямых $x=0$ и $y = -8x + 52$. Подставим $x=0$ во второе уравнение:
$y_K = -8(0) + 52 = 52$
Координаты точки $K(0, 52)$.

Теперь найдем длину отрезка CK. Точка C имеет координаты $(0, 0)$, а точка K — $(0, 52)$. Расстояние между ними равно:
$CK = \sqrt{(0-0)^2 + (52-0)^2} = \sqrt{52^2} = 52$

Ответ: 52 см.