Номер 1035, страница 143 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1035. Из концов диаметра окружности, равного 25 см, проведены две хорды: одна длиной 24 см, а другая — 20 см. Найдите длину отрезка, соединяющего их свободные концы.

Пусть дан диаметр $AB$ окружности, $AB = 25$ см. Из его концов, точек $A$ и $B$, проведены хорды $AC = 24$ см и $BD = 20$ см. Необходимо найти длину отрезка $CD$, соединяющего свободные концы хорд.

Рассмотрим треугольники $\triangle ACB$ и $\triangle ADB$. Угол, опирающийся на диаметр, является прямым. Следовательно, $\angle ACB = 90^\circ$ и $\angle ADB = 90^\circ$. Таким образом, треугольники $\triangle ACB$ и $\triangle ADB$ — прямоугольные.

Используя теорему Пифагора, найдем длины неизвестных катетов этих треугольников.

Для $\triangle ACB$:

$BC^2 = AB^2 - AC^2$

$BC = \sqrt{25^2 - 24^2} = \sqrt{(25-24)(25+24)} = \sqrt{1 \cdot 49} = 7$ см.

Для $\triangle ADB$:

$AD^2 = AB^2 - BD^2$

$AD = \sqrt{25^2 - 20^2} = \sqrt{(25-20)(25+20)} = \sqrt{5 \cdot 45} = \sqrt{225} = 15$ см.

Условие задачи не уточняет, как расположены хорды относительно диаметра — по одну сторону или по разные. Это приводит к двум возможным конфигурациям, для каждой из которых мы найдем решение.

В этом случае точки $C$ и $D$ лежат в разных полуплоскостях относительно прямой $AB$. Чтобы найти длину $CD$, рассмотрим треугольник $\triangle ACD$ и применим к нему теорему косинусов. Для этого нам нужно найти $\cos(\angle CAD)$.

Угол $\angle CAD$ складывается из углов $\angle CAB$ и $\angle DAB$.

$\angle CAD = \angle CAB + \angle DAB$

Найдём синусы и косинусы этих углов из прямоугольных треугольников $\triangle ACB$ и $\triangle ADB$:

$\cos(\angle CAB) = \frac{AC}{AB} = \frac{24}{25}$, $\sin(\angle CAB) = \frac{BC}{AB} = \frac{7}{25}$

$\cos(\angle DAB) = \frac{AD}{AB} = \frac{15}{25} = \frac{3}{5}$, $\sin(\angle DAB) = \frac{BD}{AB} = \frac{20}{25} = \frac{4}{5}$

Используем формулу косинуса суммы углов:

$\cos(\angle CAD) = \cos(\angle CAB + \angle DAB) = \cos(\angle CAB)\cos(\angle DAB) - \sin(\angle CAB)\sin(\angle DAB)$

$\cos(\angle CAD) = \frac{24}{25} \cdot \frac{3}{5} - \frac{7}{25} \cdot \frac{4}{5} = \frac{72 - 28}{125} = \frac{44}{125}$

Теперь по теореме косинусов для $\triangle ACD$:

$CD^2 = AC^2 + AD^2 - 2 \cdot AC \cdot AD \cdot \cos(\angle CAD)$

$CD^2 = 24^2 + 15^2 - 2 \cdot 24 \cdot 15 \cdot \frac{44}{125} = 576 + 225 - 720 \cdot \frac{44}{125}$

$CD^2 = 801 - \frac{144 \cdot 5}{25 \cdot 5} \cdot 44 = 801 - \frac{6336}{25} = \frac{801 \cdot 25 - 6336}{25} = \frac{20025 - 6336}{25} = \frac{13689}{25}$

$CD = \sqrt{\frac{13689}{25}} = \frac{117}{5} = 23,4$ см.

Ответ: 23,4 см.

В этом случае точки $C$ и $D$ лежат в одной полуплоскости относительно прямой $AB$. Угол $\angle CAD$ будет равен модулю разности углов $\angle CAB$ и $\angle DAB$.

$\angle CAD = |\angle CAB - \angle DAB|$

Используем формулу косинуса разности углов (результат будет одинаков независимо от знака разности):

$\cos(\angle CAD) = \cos(\angle CAB - \angle DAB) = \cos(\angle CAB)\cos(\angle DAB) + \sin(\angle CAB)\sin(\angle DAB)$

$\cos(\angle CAD) = \frac{24}{25} \cdot \frac{3}{5} + \frac{7}{25} \cdot \frac{4}{5} = \frac{72 + 28}{125} = \frac{100}{125} = \frac{4}{5}$

Применим теорему косинусов к $\triangle ACD$:

$CD^2 = AC^2 + AD^2 - 2 \cdot AC \cdot AD \cdot \cos(\angle CAD)$

$CD^2 = 24^2 + 15^2 - 2 \cdot 24 \cdot 15 \cdot \frac{4}{5} = 576 + 225 - 720 \cdot \frac{4}{5}$

$CD^2 = 801 - 576 = 225$

$CD = \sqrt{225} = 15$ см.

Ответ: 15 см.