Номер 1041, страница 144 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1041. Определите, существует ли треугольник, высоты которого равны:

а) 2, 3 и 4;

б) 4, 5 и 10.

Для того чтобы определить, существует ли треугольник с заданными высотами, необходимо использовать связь между сторонами треугольника и его высотами.

Пусть стороны треугольника равны $a, b, c$, а высоты, проведенные к этим сторонам, равны соответственно $h_a, h_b, h_c$. Площадь треугольника $S$ можно выразить через любую сторону и соответствующую ей высоту по формуле: $S = \frac{1}{2} a \cdot h_a = \frac{1}{2} b \cdot h_b = \frac{1}{2} c \cdot h_c$.

Из этой формулы можно выразить длины сторон через площадь и высоты: $a = \frac{2S}{h_a}$, $b = \frac{2S}{h_b}$, $c = \frac{2S}{h_c}$.

Это соотношение показывает, что стороны треугольника обратно пропорциональны его высотам: $a : b : c = \frac{1}{h_a} : \frac{1}{h_b} : \frac{1}{h_c}$.

Треугольник может существовать только в том случае, если его стороны удовлетворяют неравенству треугольника: сумма длин любых двух сторон должна быть больше длины третьей стороны. Таким образом, треугольник с высотами $h_a, h_b, h_c$ существует тогда и только тогда, когда числа, обратные высотам ($\frac{1}{h_a}, \frac{1}{h_b}, \frac{1}{h_c}$), могут быть сторонами треугольника, то есть удовлетворяют неравенству треугольника.

Для проверки достаточно убедиться, что сумма двух меньших из этих обратных величин больше, чем третья, самая большая. Самая большая сторона соответствует самой маленькой высоте.

а) 2, 3 и 4

Заданные высоты: $h_a=2, h_b=3, h_c=4$. Стороны такого треугольника должны быть пропорциональны числам $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}$ и $\frac{1}{4}$.

Наименьшая высота равна 2, ей соответствует наибольшая сторона, пропорциональная $\frac{1}{2}$. Две другие стороны пропорциональны $\frac{1}{3}$ и $\frac{1}{4}$. Проверим неравенство треугольника для этих величин: сумма двух меньших сторон должна быть больше большей стороны. $\frac{1}{3} + \frac{1}{4} > \frac{1}{2}$

Приведем дроби к общему знаменателю 12: $\frac{4}{12} + \frac{3}{12} > \frac{6}{12}$ $\frac{7}{12} > \frac{6}{12}$

Неравенство верно. Следовательно, треугольник с такими высотами существует.
Ответ: существует.

б) 4, 5 и 10

Заданные высоты: $h_a=4, h_b=5, h_c=10$. Стороны такого треугольника должны быть пропорциональны числам $\frac{1}{4}, \frac{1}{5}$ и $\frac{1}{10}$.

Наименьшая высота равна 4, ей соответствует наибольшая сторона, пропорциональная $\frac{1}{4}$. Две другие стороны пропорциональны $\frac{1}{5}$ и $\frac{1}{10}$. Проверим неравенство треугольника: $\frac{1}{5} + \frac{1}{10} > \frac{1}{4}$

Приведем дроби к общему знаменателю 20: $\frac{4}{20} + \frac{2}{20} > \frac{5}{20}$ $\frac{6}{20} > \frac{5}{20}$

Неравенство верно. Следовательно, треугольник с такими высотами существует.
Ответ: существует.