Номер 1045, страница 144 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1045. Найдите площадь треугольника, учитывая, что:

а) две его стороны равны 27 см и 29 см, а медиана, заключенная между ними, — 26 см;

б) медианы треугольника равны 6 см, 5 см и 5 см;

в) медианы треугольника равны 16 см, 30 см и 34 см;

г) одна сторона равна 10 см, а медианы к двум другим сторонам — 9 см и 12 см (рис. 322).

Рис. 322

а)

Пусть в треугольнике $ABC$ стороны $AC=b=27$ см, $BC=a=29$ см, а медиана, проведенная из вершины $C$ к стороне $AB$, равна $m_c=26$ см. Для нахождения площади треугольника воспользуемся методом удвоения медианы.

Продлим медиану $CM$ за точку $M$ на ее длину до точки $D$ так, что $CM=MD$. Таким образом, $CD=2m_c=52$ см. Четырехугольник $ADBC$ является параллелограммом, так как его диагонали $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $M$ и делятся ею пополам.

Площадь треугольника $ABC$ равна площади треугольника $ACD$. Это следует из того, что диагональ $CD$ делит параллелограмм на два равных треугольника $ACD$ и $BCD$, а диагональ $AB$ также делит его на два равных треугольника $ABC$ и $ABD$. Следовательно, $S_{ABC} = \frac{1}{2}S_{ADBC} = S_{ACD}$.

Найдем площадь треугольника $ACD$. Его стороны равны $AC=27$ см, $AD=BC=29$ см и $CD=52$ см. Воспользуемся формулой Герона для нахождения площади $S_{ACD}$:

$S = \sqrt{p(p-a')(p-b')(p-c')}$, где $p$ — полупериметр.

Полупериметр треугольника $ACD$ равен:

$p = \frac{27 + 29 + 52}{2} = \frac{108}{2} = 54$ см.

Теперь вычислим площадь:

$S_{ACD} = \sqrt{54(54-27)(54-29)(54-52)} = \sqrt{54 \cdot 27 \cdot 25 \cdot 2} = \sqrt{(2 \cdot 27) \cdot 27 \cdot 25 \cdot 2} = \sqrt{4 \cdot 27^2 \cdot 25} = 2 \cdot 27 \cdot 5 = 270$ см².

Так как $S_{ABC} = S_{ACD}$, то площадь исходного треугольника равна 270 см².

Ответ: 270 см².

б)

Пусть медианы треугольника равны $m_a = 6$ см, $m_b = 5$ см и $m_c = 5$ см. Площадь треугольника $S$ связана с площадью треугольника, построенного на его медианах ($S_m$), соотношением:

$S = \frac{4}{3}S_m$

Сначала найдем площадь треугольника со сторонами, равными медианам: 6 см, 5 см, 5 см. Это равнобедренный треугольник. Найдем его площадь $S_m$ по формуле Герона.

Полупериметр $p_m$ этого треугольника:

$p_m = \frac{6+5+5}{2} = \frac{16}{2} = 8$ см.

Площадь $S_m$:

$S_m = \sqrt{8(8-6)(8-5)(8-5)} = \sqrt{8 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3} = \sqrt{16 \cdot 9} = 4 \cdot 3 = 12$ см².

Теперь найдем площадь исходного треугольника $S$:

$S = \frac{4}{3}S_m = \frac{4}{3} \cdot 12 = 4 \cdot 4 = 16$ см².

Ответ: 16 см².

в)

Даны медианы треугольника $m_a = 16$ см, $m_b = 30$ см и $m_c = 34$ см. Как и в предыдущем пункте, воспользуемся формулой, связывающей площадь треугольника $S$ с площадью треугольника, построенного на его медианах ($S_m$):

$S = \frac{4}{3}S_m$

Найдем площадь $S_m$ треугольника со сторонами 16 см, 30 см и 34 см. Проверим, не является ли этот треугольник прямоугольным, используя теорему Пифагора:

$16^2 + 30^2 = 256 + 900 = 1156$

$34^2 = 1156$

Поскольку $16^2 + 30^2 = 34^2$, треугольник является прямоугольным с катетами 16 и 30. Его площадь равна половине произведения катетов:

$S_m = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 30 = 8 \cdot 30 = 240$ см².

Теперь найдем площадь исходного треугольника $S$:

$S = \frac{4}{3}S_m = \frac{4}{3} \cdot 240 = 4 \cdot 80 = 320$ см².

Ответ: 320 см².

г)

Пусть в треугольнике $ABC$ сторона $BC = a = 10$ см, а медианы, проведенные к двум другим сторонам, равны $m_b = 9$ см и $m_c = 12$ см. Медианы пересекаются в одной точке (центроиде), которую обозначим $O$. Центроид делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Найдем длины отрезков медиан от вершин до точки их пересечения:

$BO = \frac{2}{3}m_b = \frac{2}{3} \cdot 9 = 6$ см.

$CO = \frac{2}{3}m_c = \frac{2}{3} \cdot 12 = 8$ см.

Рассмотрим треугольник $BOC$. Его стороны равны $BO=6$ см, $CO=8$ см и $BC=10$ см. Проверим, является ли он прямоугольным:

$6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$

$10^2 = 100$

Так как $BO^2 + CO^2 = BC^2$, треугольник $BOC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $O$.

Площадь треугольника $BOC$ равна:

$S_{BOC} = \frac{1}{2} \cdot BO \cdot CO = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24$ см².

Медианы делят треугольник на шесть малых треугольников равной площади. Площадь треугольника $BOC$ составляет две шестых, то есть одну треть от площади всего треугольника $ABC$.

$S_{ABC} = 3 \cdot S_{BOC}$

$S_{ABC} = 3 \cdot 24 = 72$ см².

Ответ: 72 см².