Номер 1047, страница 145 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1047. Найдите третью сторону треугольника, учитывая, что:

а) две его стороны длинами 11 см и 23 см заключают медиану длиной 11 см;

б) две его стороны имеют длины 10 см и 17 см, а описанная окружность имеет радиус 10,625 см.

а) Пусть даны стороны треугольника $a = 11$ см и $b = 23$ см. Формулировка "заключают медиану" означает, что медиана проведена из вершины, образованной этими сторонами, к третьей, неизвестной стороне $c$. Длина этой медианы $m_c = 11$ см.
Воспользуемся формулой для вычисления длины медианы треугольника:
$m_c^2 = \frac{2a^2 + 2b^2 - c^2}{4}$
Подставим известные значения в формулу:
$11^2 = \frac{2 \cdot 11^2 + 2 \cdot 23^2 - c^2}{4}$
$121 = \frac{2 \cdot 121 + 2 \cdot 529 - c^2}{4}$
$4 \cdot 121 = 242 + 1058 - c^2$
$484 = 1300 - c^2$
$c^2 = 1300 - 484$
$c^2 = 816$
$c = \sqrt{816} = \sqrt{16 \cdot 51} = 4\sqrt{51}$ см.

Ответ: $4\sqrt{51}$ см.

б) Пусть даны стороны треугольника $a = 10$ см и $b = 17$ см, а радиус описанной окружности $R = 10,625$ см.
Сначала представим радиус в виде обыкновенной дроби: $R = 10,625 = 10\frac{625}{1000} = 10\frac{5}{8} = \frac{85}{8}$ см.
Согласно обобщенной теореме синусов, $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$, где $A$, $B$, $C$ — углы, противолежащие сторонам $a$, $b$, $c$ соответственно.
Найдем синусы углов $A$ и $B$:
$\sin A = \frac{a}{2R} = \frac{10}{2 \cdot \frac{85}{8}} = \frac{10}{\frac{85}{4}} = \frac{40}{85} = \frac{8}{17}$.
$\sin B = \frac{b}{2R} = \frac{17}{2 \cdot \frac{85}{8}} = \frac{17}{\frac{85}{4}} = \frac{68}{85} = \frac{4}{5}$.
Теперь найдем косинусы этих углов, используя основное тригонометрическое тождество $\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$. Угол треугольника может быть острым (косинус положителен) или тупым (косинус отрицателен).
$\cos A = \pm \sqrt{1 - \sin^2 A} = \pm \sqrt{1 - (\frac{8}{17})^2} = \pm \sqrt{1 - \frac{64}{289}} = \pm \sqrt{\frac{225}{289}} = \pm \frac{15}{17}$.
$\cos B = \pm \sqrt{1 - \sin^2 B} = \pm \sqrt{1 - (\frac{4}{5})^2} = \pm \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \pm \sqrt{\frac{9}{25}} = \pm \frac{3}{5}$.
Третью сторону $c$ можно найти по теореме косинусов: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$. Угол $C = 180^\circ - (A+B)$, поэтому $\cos C = -\cos(A+B) = \sin A \sin B - \cos A \cos B$.
В треугольнике может быть не более одного тупого угла, что приводит к двум возможным случаям.

Случай 1: Оба угла $A$ и $B$ острые. Тогда $\cos A > 0$ и $\cos B > 0$.
$\cos A = \frac{15}{17}$ и $\cos B = \frac{3}{5}$.
$\cos C = (\frac{8}{17})(\frac{4}{5}) - (\frac{15}{17})(\frac{3}{5}) = \frac{32}{85} - \frac{45}{85} = -\frac{13}{85}$.
$c^2 = 10^2 + 17^2 - 2(10)(17)(-\frac{13}{85}) = 100 + 289 + \frac{340 \cdot 13}{85} = 389 + 4 \cdot 13 = 389 + 52 = 441$.
$c = \sqrt{441} = 21$ см.

Случай 2: Один из углов ($A$ или $B$) тупой. Поскольку $\sin B > \sin A$ ($4/5 > 8/17$), то и угол $B$ больше угла $A$ (в диапазоне от 0 до 180 градусов, если один из них тупой). Следовательно, тупым может быть только угол $B$. Тогда $\cos B < 0$, а $\cos A > 0$.
$\cos A = \frac{15}{17}$ и $\cos B = -\frac{3}{5}$.
$\cos C = (\frac{8}{17})(\frac{4}{5}) - (\frac{15}{17})(-\frac{3}{5}) = \frac{32}{85} + \frac{45}{85} = \frac{77}{85}$.
$c^2 = 10^2 + 17^2 - 2(10)(17)(\frac{77}{85}) = 100 + 289 - \frac{340 \cdot 77}{85} = 389 - 4 \cdot 77 = 389 - 308 = 81$.
$c = \sqrt{81} = 9$ см.

Таким образом, существуют два треугольника, удовлетворяющих условию задачи.

Ответ: 9 см или 21 см.