Номер 1054, страница 146 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1054. Докажите, что в любом треугольнике произведение двух его сторон равно произведению диаметра окружности, описанной около этого треугольника, и высоты, проведенной к третьей стороне.

Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$. Обозначим длины его сторон, противолежащих вершинам $A, B, C$, как $a, b, c$ соответственно. Пусть $h_c$ — высота, проведенная из вершины $C$ к стороне $AB$, а $R$ — радиус описанной около этого треугольника окружности.

Требуется доказать, что произведение двух сторон, например $a$ и $b$, равно произведению диаметра описанной окружности ($2R$) и высоты, проведенной к третьей стороне ($h_c$). То есть, докажем справедливость равенства: $a \cdot b = 2R \cdot h_c$.

Для доказательства используем метод подобия треугольников. Выполним следующие построения:

1. Проведем высоту $CD$ из вершины $C$ на прямую, содержащую сторону $AB$. Длина отрезка $CD$ равна $h_c$. По определению высоты, $\angle CDA = 90^\circ$, следовательно, треугольник $ADC$ является прямоугольным.

2. Проведем диаметр $CE$ описанной окружности через вершину $C$. Его длина равна $2R$. Соединим точки $E$ и $B$.

3. Рассмотрим треугольник $EBC$. Угол $\angle EBC$ опирается на диаметр $CE$, следовательно, он прямой: $\angle EBC = 90^\circ$. Таким образом, треугольник $EBC$ также является прямоугольным.

4. Теперь сравним прямоугольные треугольники $ADC$ и $EBC$. У них уже есть по одному прямому углу. Найдем еще одну пару равных углов.

Рассмотрим вписанные углы $\angle BAC$ (или $\angle CAD$) и $\angle BEC$.

• Если вершины $A$ и $E$ лежат по одну сторону от хорды $BC$, то углы $\angle BAC$ и $\angle BEC$ равны, так как они опираются на одну и ту же дугу $BC$.
• Если вершины $A$ и $E$ лежат по разные стороны от хорды $BC$, то четырехугольник $ABEC$ является вписанным, и сумма его противоположных углов равна $180^\circ$: $\angle BAC + \angle BEC = 180^\circ$. В этом случае угол $A$ треугольника $ABC$ — тупой, и основание высоты $D$ лежит на продолжении стороны $AB$. Тогда угол $\angle CAD$ в прямоугольном треугольнике $ADC$ является смежным с углом $BAC$, то есть $\angle CAD = 180^\circ - \angle BAC$. Из этих двух равенств следует, что $\angle CAD = \angle BEC$.

Таким образом, в любом случае острые углы $\angle CAD$ и $\angle CEB$ в прямоугольных треугольниках $ADC$ и $EBC$ равны.

5. Поскольку треугольники $ADC$ и $EBC$ имеют по два равных угла (прямой угол и угол, равный $\angle CEB$), они подобны по первому признаку подобия (по двум углам):$ \triangle ADC \sim \triangle EBC $

6. Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон. Составим пропорцию для сторон, лежащих напротив равных углов:$\frac{AC}{CE} = \frac{CD}{CB}$

В этой пропорции:

• $AC = b$ (сторона, лежащая напротив прямого угла в $\triangle ADC$)
• $CE = 2R$ (сторона, лежащая напротив прямого угла в $\triangle EBC$)
• $CD = h_c$ (сторона, лежащая напротив угла $\angle CAD$ в $\triangle ADC$)
• $CB = a$ (сторона, лежащая напротив угла $\angle CEB$ в $\triangle EBC$)

7. Подставим эти значения в пропорцию:$\frac{b}{2R} = \frac{h_c}{a}$

8. Используя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), получаем:$a \cdot b = 2R \cdot h_c$

Мы доказали, что произведение двух любых сторон треугольника равно произведению диаметра его описанной окружности и высоты, проведенной к третьей стороне.

Ответ: Утверждение доказано.