Номер 1061, страница 147 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1061. Диагональ равнобедренной трапеции с площадью $12 \text{ см}^2$ равна $5 \text{ см}$. Найдите среднюю линию трапеции.

Пусть $a$ и $b$ — основания равнобедренной трапеции, $h$ — её высота, $m$ — средняя линия, $d$ — диагональ, а $S$ — площадь.

Средняя линия трапеции вычисляется по формуле как полусумма оснований:$m = \frac{a+b}{2}$

Площадь трапеции равна произведению её средней линии на высоту:$S = m \cdot h$

Из условия задачи известно, что площадь $S = 12 \text{ см}^2$. Подставим это значение в формулу:$12 = m \cdot h$Из этого уравнения можно выразить высоту через среднюю линию: $h = \frac{12}{m}$.

Проведём в трапеции высоту $CH$ из вершины $C$ на большее основание $AD$. В образовавшемся прямоугольном треугольнике $\triangle ACH$ по теореме Пифагора выполняется соотношение: $AC^2 = AH^2 + CH^2$. Для равнобедренной трапеции длина отрезка $AH$ равна средней линии $m$. Это следует из того, что $AH = AD - HD$, а проекция боковой стороны на основание $HD = \frac{AD-BC}{2}$. Тогда $AH = AD - \frac{AD-BC}{2} = \frac{2AD - AD + BC}{2} = \frac{AD+BC}{2} = m$. Таким образом, мы можем связать диагональ $d$, высоту $h$ и среднюю линию $m$ следующим соотношением:$d^2 = m^2 + h^2$

Из условия задачи диагональ $d = 5 \text{ см}$. Подставим это значение:$5^2 = m^2 + h^2$$25 = m^2 + h^2$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными $m$ и $h$:$\begin{cases} m \cdot h = 12 \\ m^2 + h^2 = 25 \end{cases}$

Подставим выражение для $h$ из первого уравнения ($h = \frac{12}{m}$) во второе:$m^2 + \left(\frac{12}{m}\right)^2 = 25$$m^2 + \frac{144}{m^2} = 25$

Умножим обе части уравнения на $m^2$ (так как средняя линия не может быть равна нулю, $m \neq 0$):$m^4 + 144 = 25m^2$$m^4 - 25m^2 + 144 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной: пусть $x = m^2$. Так как $m$ — это длина, $m > 0$, и, следовательно, $x > 0$.$x^2 - 25x + 144 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Используя теорему Виета, находим корни: их сумма должна быть 25, а произведение — 144. Этими числами являются 9 и 16.$x_1 = 9$, $x_2 = 16$.

Оба корня положительны, поэтому оба являются допустимыми решениями для $x$. Теперь вернёмся к переменной $m$:
1. Если $m^2 = 9$, то $m = 3$ (поскольку $m>0$). В этом случае высота $h = \frac{12}{3} = 4$ см.
2. Если $m^2 = 16$, то $m = 4$ (поскольку $m>0$). В этом случае высота $h = \frac{12}{4} = 3$ см.

Оба решения удовлетворяют условиям задачи. Это означает, что существуют два типа трапеций с заданными параметрами. Следовательно, задача имеет два возможных ответа для средней линии.

Ответ: 3 см или 4 см.