Номер 1059, страница 147 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1059. Найдите площадь равнобедренной трапеции, в которой диагональ перпендикулярна боковой стороне и длины трех сторон равны $2a$ каждая.

Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ ($AD > BC$) и боковыми сторонами $AB$ и $CD$. По условию задачи, $AB=CD$, диагональ перпендикулярна боковой стороне (пусть $AC \perp CD$, т.е. $\angle ACD = 90^\circ$), и длины трех сторон равны $2a$.

Поскольку трапеция равнобедренная, две из трех равных сторон — это боковые стороны $AB$ и $CD$. Третья сторона длиной $2a$ — это одно из оснований. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ACD$. В нем $AD$ является гипотенузой, так как лежит напротив прямого угла, а $CD$ — катетом. Гипотенуза всегда длиннее катета, поэтому должно выполняться неравенство $AD > CD$. Это означает, что большее основание $AD$ не может быть равно боковой стороне $CD$. Следовательно, третьей стороной длиной $2a$ является меньшее основание $BC$.

Итак, мы имеем $AB = CD = BC = 2a$.

Поскольку основания трапеции параллельны ($AD \parallel BC$), накрест лежащие углы $\angle CAD$ и $\angle BCA$ равны. Треугольник $\triangle ABC$ является равнобедренным ($AB = BC = 2a$), следовательно, углы при его основании равны: $\angle BAC = \angle BCA$. Отсюда получаем, что $\angle CAD = \angle BAC$. Обозначим величину этих углов через $\alpha$.

В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны. Угол при большем основании $\angle CDA = \angle BAD$. При этом $\angle BAD = \angle BAC + \angle CAD = \alpha + \alpha = 2\alpha$. Значит, $\angle CDA = 2\alpha$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle ACD$ сумма углов равна $180^\circ$. Таким образом:
$\angle CAD + \angle CDA + \angle ACD = 180^\circ$
$\alpha + 2\alpha + 90^\circ = 180^\circ$
$3\alpha = 90^\circ$
$\alpha = 30^\circ$

Теперь найдем длины оснований и высоту трапеции. В прямоугольном треугольнике $\triangle ACD$:
- Катет $CD = 2a$.
- Угол $\angle CAD = \alpha = 30^\circ$.
- Большее основание $AD$ является гипотенузой. $AD = \frac{CD}{\sin(\angle CAD)} = \frac{2a}{\sin(30^\circ)} = \frac{2a}{1/2} = 4a$.
Меньшее основание $BC = 2a$.

Проведем высоту $CH$ из вершины $C$ на основание $AD$. В образовавшемся прямоугольном треугольнике $\triangle CHD$ угол $\angle CDH = \angle CDA = 2\alpha = 60^\circ$. Высота $h$ трапеции равна катету $CH$:
$h = CH = CD \cdot \sin(\angle CDH) = 2a \cdot \sin(60^\circ) = 2a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = a\sqrt{3}$.

Площадь трапеции находим по формуле $S = \frac{AD+BC}{2} \cdot h$. Подставим найденные значения:
$S = \frac{4a + 2a}{2} \cdot a\sqrt{3} = \frac{6a}{2} \cdot a\sqrt{3} = 3a \cdot a\sqrt{3} = 3a^2\sqrt{3}$.
Ответ: $3a^2\sqrt{3}$.