Номер 1055, страница 146 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1055. Докажите, что в любом треугольнике произведение двух его сторон равно квадрату биссектрисы, заключенной между этими сторонами, уменьшенному на произведение отрезков, на которые третья сторона разделена этой биссектрисой.

Пусть в треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AL$ угла $A$, где точка $L$ лежит на стороне $BC$. Обозначим длины сторон $AB = c$, $AC = b$. Длина биссектрисы $AL = l_a$. Биссектриса делит сторону $BC$ на отрезки $BL = m$ и $LC = n$.

Требуется доказать, что произведение двух сторон ($b$ и $c$) равно квадрату биссектрисы ($l_a^2$), заключенной между этими сторонами, сложенному с произведением отрезков ($m$ и $n$), на которые третья сторона разделена этой биссектрисой.

Математически это записывается как: $bc = l_a^2 + mn$.

(Примечание: В формулировке задачи, вероятно, содержится неточность. Фраза "уменьшенному на произведение отрезков" предполагает формулу $bc = l_a^2 - mn$, что является неверным. Будет доказана общеизвестная правильная формула, известная как теорема о биссектрисе и отрезках, которая имеет вид $l_a^2 = bc - mn$, что эквивалентно $bc = l_a^2 + mn$.)

Доказательство.

Для доказательства используем метод, основанный на свойстве подобных треугольников и свойстве пересекающихся хорд в окружности.

1. Опишем окружность около треугольника $ABC$. Продлим биссектрису $AL$ до пересечения с этой окружностью в точке $D$. Соединим точки $D$ и $C$.

2. Рассмотрим треугольники $\triangle ABL$ и $\triangle ADC$.

- $\angle BAL = \angle DAC$, так как $AD$ — биссектриса угла $A$.

- $\angle ABL = \angle ADC$ (или $\angle B = \angle D$), так как это вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу $AC$.

Следовательно, треугольники $\triangle ABL$ и $\triangle ADC$ подобны по двум углам.

3. Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон:

$\frac{AB}{AD} = \frac{AL}{AC}$

Подставим наши обозначения:

$\frac{c}{AD} = \frac{l_a}{b}$

Из этой пропорции получаем: $b \cdot c = l_a \cdot AD$. Поскольку точка $L$ лежит на отрезке $AD$, мы можем записать $AD = AL + LD = l_a + LD$. Подставив это в предыдущее равенство, получим:

$bc = l_a(l_a + LD) = l_a^2 + l_a \cdot LD$

4. Теперь воспользуемся теоремой о пересекающихся хордах в окружности. Хорды $AD$ и $BC$ пересекаются в точке $L$. Согласно этой теореме, произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой:

$AL \cdot LD = BL \cdot LC$

В наших обозначениях:

$l_a \cdot LD = m \cdot n$

5. Наконец, подставим выражение для $l_a \cdot LD$ из пункта 4 в формулу для $bc$ из пункта 3:

$bc = l_a^2 + mn$

Таким образом, утверждение доказано.

Ответ:

Доказано, что в любом треугольнике произведение двух его сторон равно сумме квадрата биссектрисы, заключенной между этими сторонами, и произведения отрезков, на которые третья сторона разделена этой биссектрисой. Формула имеет вид: $AB \cdot AC = AL^2 + BL \cdot LC$.