Номер 1056, страница 146 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1056. Найдите биссектрисы треугольника, стороны которого равны 7, 8 и 9.

Пусть стороны треугольника равны $a=7$, $b=8$ и $c=9$. Найдем длины трех биссектрис $l_a$, $l_b$ и $l_c$, проведенных к этим сторонам соответственно.

Для вычисления длины биссектрисы угла треугольника, проведенной, например, к стороне $a$, используется формула:

$l_a = \frac{2}{b+c}\sqrt{bcp(p-a)}$

где $b$ и $c$ — стороны, прилежащие к углу, из которого проведена биссектриса, а $p$ — полупериметр треугольника.

Сначала найдем полупериметр $p$:

$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{7+8+9}{2} = \frac{24}{2} = 12$.

Найдем длину биссектрисы, проведенной к стороне $a=7$. Две другие стороны равны $b=8$ и $c=9$.

Используем формулу, подставляя значения:

$l_a = \frac{2}{8+9}\sqrt{8 \cdot 9 \cdot 12 \cdot (12-7)} = \frac{2}{17}\sqrt{8 \cdot 9 \cdot 12 \cdot 5} = \frac{2}{17}\sqrt{4320}$.

Упростим корень: $\sqrt{4320} = \sqrt{144 \cdot 30} = 12\sqrt{30}$.

Таким образом, длина биссектрисы:

$l_a = \frac{2}{17} \cdot 12\sqrt{30} = \frac{24\sqrt{30}}{17}$.

Ответ: $\frac{24\sqrt{30}}{17}$.

Найдем длину биссектрисы, проведенной к стороне $b=8$. Две другие стороны равны $a=7$ и $c=9$.

Подставим значения в соответствующую формулу:

$l_b = \frac{2}{7+9}\sqrt{7 \cdot 9 \cdot 12 \cdot (12-8)} = \frac{2}{16}\sqrt{7 \cdot 9 \cdot 12 \cdot 4} = \frac{1}{8}\sqrt{3024}$.

Упростим корень: $\sqrt{3024} = \sqrt{144 \cdot 21} = 12\sqrt{21}$.

Таким образом, длина биссектрисы:

$l_b = \frac{1}{8} \cdot 12\sqrt{21} = \frac{12\sqrt{21}}{8} = \frac{3\sqrt{21}}{2}$.

Ответ: $\frac{3\sqrt{21}}{2}$.

Найдем длину биссектрисы, проведенной к стороне $c=9$. Две другие стороны равны $a=7$ и $b=8$.

Подставим значения в формулу:

$l_c = \frac{2}{7+8}\sqrt{7 \cdot 8 \cdot 12 \cdot (12-9)} = \frac{2}{15}\sqrt{7 \cdot 8 \cdot 12 \cdot 3} = \frac{2}{15}\sqrt{2016}$.

Упростим корень: $\sqrt{2016} = \sqrt{144 \cdot 14} = 12\sqrt{14}$.

Таким образом, длина биссектрисы:

$l_c = \frac{2}{15} \cdot 12\sqrt{14} = \frac{24\sqrt{14}}{15} = \frac{8\sqrt{14}}{5}$.

Ответ: $\frac{8\sqrt{14}}{5}$.