Номер 1062, страница 147 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1062. Боковая сторона трапеции, вписанной в окружность, стягивает дугу величиной $2\alpha$ (рис. 327). Найдите площадь трапеции, учитывая, что ее высота равна $h$.

Рис. 327

Пусть дана трапеция $ABCD$, вписанная в окружность, где $AD$ и $BC$ — боковые стороны, а $AB$ и $DC$ — основания. Трапеция, которую можно вписать в окружность, является равнобедренной, следовательно, её боковые стороны равны: $AD = BC$.

По условию задачи, боковая сторона стягивает дугу величиной $2\alpha$. Пусть дуга $AD$ равна $2\alpha$. Высота трапеции равна $h$.

Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = m \cdot h$, где $m$ — средняя линия трапеции, которая равна полусумме оснований: $m = \frac{AB+DC}{2}$.

Рассмотрим диагональ трапеции $AC$. Угол $\angle ACD$ является вписанным углом, который опирается на дугу $AD$. Согласно теореме о вписанном угле, его величина равна половине угловой меры дуги, на которую он опирается. Таким образом, получаем: $\angle ACD = \frac{1}{2} \cdot (2\alpha) = \alpha$.

Проведем высоту $AE$ из вершины $A$ на основание $DC$. В результате мы получаем прямоугольный треугольник $\triangle AEC$, в котором катет $AE$ равен высоте трапеции, то есть $AE = h$, а угол $\angle ACE$ равен найденному углу $\angle ACD$, то есть $\angle ACE = \alpha$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle AEC$ выразим катет $EC$ через катет $AE$ и прилежащий к нему угол $\angle ACE$ с помощью котангенса: $\cot(\angle ACE) = \frac{EC}{AE}$ Отсюда $EC = AE \cdot \cot(\angle ACE) = h \cdot \cot(\alpha)$.

Теперь докажем, что длина отрезка $EC$ равна средней линии трапеции. Для этого проведем вторую высоту $BF$ из вершины $B$ на основание $DC$. Так как трапеция $ABCD$ равнобедренная, отрезки $DE$ и $FC$, отсекаемые высотами от большего основания, равны между собой: $DE = FC$. Четырехугольник $ABFE$ является прямоугольником, поэтому его противоположные стороны равны: $EF = AB$.

Длина отрезка $EC$ складывается из длин отрезков $EF$ и $FC$: $EC = EF + FC$. Подставляя $EF = AB$ и $FC = DE$, получаем: $EC = AB + DE$.

В то же время, длина большего основания $DC$ равна сумме длин отрезков $DE$, $EF$ и $FC$: $DC = DE + EF + FC = DE + AB + DE = AB + 2DE$. Из этого равенства можно выразить $DE$: $DE = \frac{DC - AB}{2}$.

Подставим полученное выражение для $DE$ в формулу для $EC$: $EC = AB + \frac{DC - AB}{2} = \frac{2AB + DC - AB}{2} = \frac{AB + DC}{2}$.

Мы показали, что длина отрезка $EC$ в точности равна средней линии трапеции $m$. Следовательно, $m = EC = h \cot(\alpha)$.

Наконец, найдем площадь трапеции, подставив выражение для средней линии в формулу площади: $S = m \cdot h = (h \cot(\alpha)) \cdot h = h^2 \cot(\alpha)$.

Ответ: $S = h^2 \cot(\alpha)$.