Номер 1065, страница 147 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1065. Площадь трапеции равна $144 \text{ см}^2$, а ее основания — $17 \text{ см}$ и $7 \text{ см}$. Какой может быть меньшая боковая сторона трапеции?

Площадь трапеции вычисляется по формуле:$S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — длины оснований, а $h$ — высота трапеции.

По условию задачи, площадь $S = 144 \text{ см}^2$, а основания $a = 17$ см и $b = 7$ см. Подставим эти значения в формулу, чтобы найти высоту трапеции:$144 = \frac{17 + 7}{2} \cdot h$$144 = \frac{24}{2} \cdot h$$144 = 12 \cdot h$$h = \frac{144}{12} = 12 \text{ см.}$

Высота трапеции равна 12 см.

Рассмотрим произвольную боковую сторону трапеции. Она является гипотенузой в прямоугольном треугольнике, одним из катетов которого является высота трапеции $h$, а другим — проекция этой боковой стороны на большее основание. Обозначим длину этой проекции как $x$.

Тогда длина боковой стороны $c$ может быть найдена по теореме Пифагора:$c^2 = h^2 + x^2$$c = \sqrt{h^2 + x^2}$

Подставим найденное значение высоты $h = 12$ см:$c = \sqrt{12^2 + x^2} = \sqrt{144 + x^2}$

Из этой формулы видно, что длина боковой стороны $c$ всегда будет больше или равна высоте $h$ ($c \ge h$), так как $x^2 \ge 0$. Наименьшее возможное значение длины боковой стороны достигается при наименьшем возможном значении $x$. Минимальное значение $x$ равно 0. Этот случай соответствует прямоугольной трапеции, где одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям.

При $x = 0$ длина боковой стороны будет минимальной и равной:$c_{min} = \sqrt{144 + 0^2} = \sqrt{144} = 12 \text{ см.}$

Таким образом, наименьшая возможная длина для боковой стороны трапеции равна ее высоте. В данном случае это 12 см. Если одна из сторон равна высоте, она и будет меньшей боковой стороной, так как любая другая неперпендикулярная основаниям сторона будет длиннее.

Ответ: 12 см.