Номер 1067, страница 148 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1067. Найдите площадь четырехугольника $ABCD$ и его диагональ $BD$, учитывая, что $AB = 17$ см, $BC = 25$ см, $CD = 26$ см, $AD = 30$ см, $AC = 28$ см.

Площадь четырехугольника ABCD

Площадь четырехугольника ABCD можно найти как сумму площадей двух треугольников, $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$, на которые его разбивает диагональ AC. Для нахождения площадей треугольников воспользуемся формулой Герона, так как для каждого из них известны длины всех трех сторон.

1. Найдем площадь треугольника $\triangle ABC$.

Стороны треугольника: $AB = 17$ см, $BC = 25$ см, $AC = 28$ см.

Вычислим полупериметр $p_{ABC}$:

$p_{ABC} = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{17 + 25 + 28}{2} = \frac{70}{2} = 35$ см.

По формуле Герона площадь треугольника $S_{ABC}$ равна:

$S_{ABC} = \sqrt{p_{ABC}(p_{ABC}-AB)(p_{ABC}-BC)(p_{ABC}-AC)}$

$S_{ABC} = \sqrt{35(35-17)(35-25)(35-28)} = \sqrt{35 \cdot 18 \cdot 10 \cdot 7}$

$S_{ABC} = \sqrt{(5 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 3^2) \cdot (2 \cdot 5) \cdot 7} = \sqrt{2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot 7^2} = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 210$ см².

2. Найдем площадь треугольника $\triangle ADC$.

Стороны треугольника: $AD = 30$ см, $CD = 26$ см, $AC = 28$ см.

Вычислим полупериметр $p_{ADC}$:

$p_{ADC} = \frac{AD + CD + AC}{2} = \frac{30 + 26 + 28}{2} = \frac{84}{2} = 42$ см.

По формуле Герона площадь треугольника $S_{ADC}$ равна:

$S_{ADC} = \sqrt{p_{ADC}(p_{ADC}-AD)(p_{ADC}-CD)(p_{ADC}-AC)}$

$S_{ADC} = \sqrt{42(42-30)(42-26)(42-28)} = \sqrt{42 \cdot 12 \cdot 16 \cdot 14}$

$S_{ADC} = \sqrt{(6 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 6) \cdot 16 \cdot (2 \cdot 7)} = \sqrt{2^2 \cdot 6^2 \cdot 7^2 \cdot 16} = 2 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 4 = 336$ см².

3. Площадь четырехугольника ABCD равна сумме площадей треугольников:

$S_{ABCD} = S_{ABC} + S_{ADC} = 210 + 336 = 546$ см².

Ответ: Площадь четырехугольника ABCD равна 546 см².

Диагональ BD

Для нахождения длины диагонали BD воспользуемся теоремой косинусов для треугольника $\triangle BCD$. Для этого сначала найдем косинус угла $\angle BCD$, который является суммой углов $\angle BCA$ и $\angle ACD$.

1. В треугольнике $\triangle ABC$ найдем косинус и синус угла $\angle BCA$ по теореме косинусов:

$AB^2 = BC^2 + AC^2 - 2 \cdot BC \cdot AC \cdot \cos(\angle BCA)$

$\cos(\angle BCA) = \frac{BC^2 + AC^2 - AB^2}{2 \cdot BC \cdot AC} = \frac{25^2 + 28^2 - 17^2}{2 \cdot 25 \cdot 28} = \frac{625 + 784 - 289}{1400} = \frac{1120}{1400} = \frac{4}{5}$.

Так как угол в треугольнике находится в диапазоне от 0 до 180 градусов, его синус положителен:

$\sin(\angle BCA) = \sqrt{1 - \cos^2(\angle BCA)} = \sqrt{1 - (\frac{4}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$.

2. В треугольнике $\triangle ADC$ найдем косинус и синус угла $\angle ACD$:

$AD^2 = CD^2 + AC^2 - 2 \cdot CD \cdot AC \cdot \cos(\angle ACD)$

$\cos(\angle ACD) = \frac{CD^2 + AC^2 - AD^2}{2 \cdot CD \cdot AC} = \frac{26^2 + 28^2 - 30^2}{2 \cdot 26 \cdot 28} = \frac{676 + 784 - 900}{1456} = \frac{560}{1456} = \frac{5}{13}$.

$\sin(\angle ACD) = \sqrt{1 - \cos^2(\angle ACD)} = \sqrt{1 - (\frac{5}{13})^2} = \sqrt{1 - \frac{25}{169}} = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}$.

3. Найдем косинус угла $\angle BCD$ по формуле косинуса суммы:

$\cos(\angle BCD) = \cos(\angle BCA + \angle ACD) = \cos(\angle BCA)\cos(\angle ACD) - \sin(\angle BCA)\sin(\angle ACD)$

$\cos(\angle BCD) = \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{13} - \frac{3}{5} \cdot \frac{12}{13} = \frac{20}{65} - \frac{36}{65} = -\frac{16}{65}$.

4. Применим теорему косинусов к треугольнику $\triangle BCD$ для нахождения BD:

$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos(\angle BCD)$

$BD^2 = 25^2 + 26^2 - 2 \cdot 25 \cdot 26 \cdot (-\frac{16}{65})$

$BD^2 = 625 + 676 - 1300 \cdot (-\frac{16}{65})$

$BD^2 = 1301 + \frac{1300 \cdot 16}{65} = 1301 + 20 \cdot 16 = 1301 + 320 = 1621$.

$BD = \sqrt{1621}$ см.

Ответ: Диагональ BD равна $\sqrt{1621}$ см.