Номер 1073, страница 148 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1073. Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон четырехугольника, равны 7 см и 11 см, а одна из диагоналей – 12 см. Найдите другую диагональ.

Для решения этой задачи воспользуемся свойством произвольного четырехугольника, которое связывает длины его диагоналей с длинами отрезков, соединяющих середины противоположных сторон. Это свойство является следствием теоремы Вариньона.

Теорема Вариньона гласит, что середины сторон любого четырехугольника образуют параллелограмм. Диагонали этого параллелограмма — это отрезки, соединяющие середины противоположных сторон исходного четырехугольника. Стороны этого параллелограмма равны половинам диагоналей исходного четырехугольника.

Пусть длины отрезков, соединяющих середины противоположных сторон, равны $m_1 = 7$ см и $m_2 = 11$ см. Пусть длины диагоналей четырехугольника равны $d_1 = 12$ см и $d_2$ (которую нужно найти).

Для любого параллелограмма сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов его сторон. Обозначим стороны параллелограмма Вариньона как $a$ и $b$. Тогда $a = \frac{d_1}{2}$ и $b = \frac{d_2}{2}$. Диагонали этого параллелограмма — $m_1$ и $m_2$.

Свойство параллелограмма записывается так:

$m_1^2 + m_2^2 = 2(a^2 + b^2)$

Подставим в это равенство выражения для сторон $a$ и $b$ через диагонали $d_1$ и $d_2$:

$m_1^2 + m_2^2 = 2 \left( \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 \right)$

$m_1^2 + m_2^2 = 2 \left( \frac{d_1^2}{4} + \frac{d_2^2}{4} \right)$

$m_1^2 + m_2^2 = \frac{d_1^2 + d_2^2}{2}$

Получили формулу, связывающую диагонали четырехугольника и отрезки, соединяющие середины его противоположных сторон. Теперь подставим в нее известные значения:

$7^2 + 11^2 = \frac{12^2 + d_2^2}{2}$

$49 + 121 = \frac{144 + d_2^2}{2}$

$170 = \frac{144 + d_2^2}{2}$

Умножим обе части уравнения на 2:

$340 = 144 + d_2^2$

Теперь найдем $d_2^2$:

$d_2^2 = 340 - 144$

$d_2^2 = 196$

Извлечем квадратный корень, чтобы найти $d_2$:

$d_2 = \sqrt{196} = 14$ см.

Ответ: 14 см.