Номер 1080, страница 149 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1080. Найдите площадь трапеции, у которой диагонали равны $d_1$ и $d_2$, а высота – $h$.

Пусть дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC, диагоналями AC = $d_1$, BD = $d_2$ и высотой $h$.

Для нахождения площади воспользуемся методом дополнительного построения. Через вершину C проведем прямую, параллельную диагонали BD. Пусть эта прямая пересекает продолжение основания AD в точке E.

Рассмотрим четырехугольник BCED. Так как BC || DE (поскольку это части оснований трапеции) и CE || BD (по построению), то BCED является параллелограммом.

Из свойств параллелограмма следует, что противоположные стороны равны: CE = BD = $d_2$ и DE = BC.

Площадь исходной трапеции ABCD определяется формулой:$S_{ABCD} = \frac{AD + BC}{2} \cdot h$

Рассмотрим треугольник ACE. Его площадь равна:$S_{ACE} = \frac{1}{2} \cdot AE \cdot h$Основание этого треугольника AE = AD + DE. Так как DE = BC, то AE = AD + BC. Подставим это в формулу площади треугольника:$S_{ACE} = \frac{AD + BC}{2} \cdot h$

Сравнивая формулы, мы видим, что площадь трапеции ABCD равна площади треугольника ACE. Таким образом, задача сводится к нахождению площади треугольника ACE, у которого известны две стороны AC = $d_1$, CE = $d_2$ и высота, проведенная к третьей стороне, равная $h$.

Проведем высоту CH из вершины C на прямую AE. По условию, CH = $h$. Эта высота разделяет треугольник ACE на два прямоугольных треугольника: ACH и ECH.

Из прямоугольного треугольника ACH по теореме Пифагора находим катет AH:$AH^2 + CH^2 = AC^2$$AH^2 + h^2 = d_1^2$$AH = \sqrt{d_1^2 - h^2}$

Аналогично, из прямоугольного треугольника ECH находим катет EH:$EH^2 + CH^2 = CE^2$$EH^2 + h^2 = d_2^2$$EH = \sqrt{d_2^2 - h^2}$

Длина основания AE треугольника ACE равна сумме длин отрезков AH и EH:$AE = AH + EH = \sqrt{d_1^2 - h^2} + \sqrt{d_2^2 - h^2}$

Теперь мы можем вычислить площадь треугольника ACE, которая равна искомой площади трапеции:$S = S_{ACE} = \frac{1}{2} \cdot AE \cdot h = \frac{1}{2} (\sqrt{d_1^2 - h^2} + \sqrt{d_2^2 - h^2}) \cdot h$

Ответ: $S = \frac{h}{2}(\sqrt{d_1^2 - h^2} + \sqrt{d_2^2 - h^2})$