Номер 1085, страница 150 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1085. Докажите, что если площади двух прямоугольных треугольников относятся как квадраты их гипотенуз, то такие треугольники подобны.

Пусть даны два прямоугольных треугольника. Обозначим катеты, гипотенузу и площадь первого треугольника как $a_1$, $b_1$, $c_1$ и $S_1$ соответственно. Для второго треугольника введем аналогичные обозначения: $a_2$, $b_2$, $c_2$ и $S_2$.

По условию задачи, отношение площадей этих треугольников равно отношению квадратов их гипотенуз:

$\frac{S_1}{S_2} = \frac{c_1^2}{c_2^2}$

Площадь прямоугольного треугольника можно выразить через его катеты: $S = \frac{1}{2}ab$. Подставим это в наше соотношение:

$\frac{\frac{1}{2}a_1b_1}{\frac{1}{2}a_2b_2} = \frac{c_1^2}{c_2^2}$

$\frac{a_1b_1}{a_2b_2} = \frac{c_1^2}{c_2^2}$

Для доказательства подобия треугольников воспользуемся тригонометрическим представлением площади. Площадь треугольника можно выразить через две стороны и синус угла между ними. В прямоугольном треугольнике площадь также можно выразить через гипотенузу и один из острых углов. Пусть $\alpha_1$ — один из острых углов первого треугольника. Тогда его катеты равны $a_1 = c_1 \sin \alpha_1$ и $b_1 = c_1 \cos \alpha_1$.

Площадь первого треугольника $S_1$ равна:

$S_1 = \frac{1}{2}a_1b_1 = \frac{1}{2}(c_1 \sin \alpha_1)(c_1 \cos \alpha_1) = \frac{1}{2}c_1^2 \sin \alpha_1 \cos \alpha_1$

Используя формулу двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$, получим:

$S_1 = \frac{1}{4}c_1^2 \sin(2\alpha_1)$

Аналогично для второго треугольника с острым углом $\alpha_2$:

$S_2 = \frac{1}{4}c_2^2 \sin(2\alpha_2)$

Теперь подставим эти выражения для площадей в исходное условие:

$\frac{\frac{1}{4}c_1^2 \sin(2\alpha_1)}{\frac{1}{4}c_2^2 \sin(2\alpha_2)} = \frac{c_1^2}{c_2^2}$

Сократив общие множители $\frac{1}{4}$, $c_1^2$ и $c_2^2$, получим:

$\frac{\sin(2\alpha_1)}{\sin(2\alpha_2)} = 1$

Отсюда следует, что $\sin(2\alpha_1) = \sin(2\alpha_2)$.

Поскольку $\alpha_1$ и $\alpha_2$ — это острые углы прямоугольных треугольников, то $0 < \alpha_1 < 90^\circ$ и $0 < \alpha_2 < 90^\circ$. Следовательно, $0 < 2\alpha_1 < 180^\circ$ и $0 < 2\alpha_2 < 180^\circ$.

Для углов в интервале от 0 до 180 градусов равенство синусов $\sin(x) = \sin(y)$ возможно в двух случаях:

1. $x = y$

2. $x = 180^\circ - y$

Рассмотрим оба случая для наших углов:

Случай 1: $2\alpha_1 = 2\alpha_2$, что означает $\alpha_1 = \alpha_2$.

Если один острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники подобны по двум углам (первый признак подобия), так как у них есть по прямому углу и по равному острому углу.

Случай 2: $2\alpha_1 = 180^\circ - 2\alpha_2$, что означает $2(\alpha_1 + \alpha_2) = 180^\circ$, или $\alpha_1 + \alpha_2 = 90^\circ$.

Пусть углы первого треугольника равны $90^\circ, \alpha_1, 90^\circ - \alpha_1$.

Углы второго треугольника равны $90^\circ, \alpha_2, 90^\circ - \alpha_2$.

Из условия $\alpha_2 = 90^\circ - \alpha_1$, углы второго треугольника будут $90^\circ, 90^\circ - \alpha_1, 90^\circ - (90^\circ - \alpha_1) = \alpha_1$.

Таким образом, набор острых углов у обоих треугольников одинаков: $\{\alpha_1, 90^\circ - \alpha_1\}$. Следовательно, треугольники подобны по двум (а значит, и по трем) углам.

В обоих возможных случаях треугольники оказываются подобными.

Ответ: Утверждение доказано. Если площади двух прямоугольных треугольников относятся как квадраты их гипотенуз, то такие треугольники подобны.