Номер 1084, страница 150 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1084. Через вершины квадрата проведены прямые, образующие со сторонами углы величиной $60^\circ$. Найдите, какая часть площади квадрата ограничена проведенными прямыми.

Пусть дан квадрат $ABCD$ со стороной $a$. Его площадь равна $S_{ABCD} = a^2$.

Через каждую вершину квадрата проведем прямую, образующую угол $60^\circ$ с одной из прилежащих сторон. Существует два симметричных способа сделать это, но оба приводят к одному и тому же результату. Рассмотрим один из них, когда прямые образуют фигуру типа "вертушка":

• Через вершину A проведем прямую $l_A$, образующую угол $60^\circ$ со стороной AB.
• Через вершину B проведем прямую $l_B$, образующую угол $60^\circ$ со стороной BC.
• Через вершину C проведем прямую $l_C$, образующую угол $60^\circ$ со стороной CD.
• Через вершину D проведем прямую $l_D$, образующую угол $60^\circ$ со стороной DA.

Эти четыре прямые, пересекаясь, ограничивают в центре новый четырехугольник. Обозначим его вершины $P, Q, R, S$, где $P$ — точка пересечения прямых $l_D$ и $l_A$, $Q$ — $l_A$ и $l_B$, $R$ — $l_B$ и $l_C$, $S$ — $l_C$ и $l_D$. В силу симметрии построения, фигура $PQRS$ является квадратом.

Чтобы найти площадь этого квадрата, определим длину его стороны. Найдем длину стороны $PQ$. Точки $P$ и $Q$ лежат на одной прямой $l_A$, поэтому длина стороны $PQ$ равна $|AP - AQ|$. Для этого найдем длины отрезков $AP$ и $AQ$, используя тригонометрию в треугольниках, образованных в углах исходного квадрата.

Рассмотрим треугольник $\triangle ADP$, образованный стороной $AD$ и прямыми $l_A$ и $l_D$. В этом треугольнике:

• Сторона $AD = a$.
• По построению, прямая $l_D$ образует угол $60^\circ$ со стороной $DA$, значит $\angle PDA = 60^\circ$.
• Прямая $l_A$ образует угол $60^\circ$ со стороной $AB$. Поскольку угол $\angle DAB = 90^\circ$, то $\angle PAD = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.
• Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, следовательно, $\angle APD = 180^\circ - 60^\circ - 30^\circ = 90^\circ$.

Таким образом, $\triangle ADP$ — прямоугольный, с гипотенузой $AD$. Длина катета $AP$ равна:$AP = AD \cdot \sin(\angle PDA) = a \cdot \sin(60^\circ) = a\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle ABQ$, образованный стороной $AB$ и прямыми $l_A$ и $l_B$. В этом треугольнике:

• Сторона $AB = a$.
• По построению, прямая $l_A$ образует угол $60^\circ$ со стороной $AB$, значит $\angle QAB = 60^\circ$.
• Прямая $l_B$ образует угол $60^\circ$ со стороной $BC$. Поскольку угол $\angle ABC = 90^\circ$, то $\angle QBA = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.
• Сумма углов в треугольнике $\triangle ABQ$ равна $180^\circ$, следовательно, $\angle AQB = 180^\circ - 60^\circ - 30^\circ = 90^\circ$.

Таким образом, $\triangle ABQ$ — прямоугольный, с гипотенузой $AB$. Длина катета $AQ$ равна:$AQ = AB \cdot \sin(\angle QBA) = a \cdot \sin(30^\circ) = a \cdot \frac{1}{2} = \frac{a}{2}$.

Теперь мы можем найти длину стороны $s$ внутреннего квадрата $PQRS$:$s = PQ = |AP - AQ| = \left|a\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{a}{2}\right| = \frac{a(\sqrt{3}-1)}{2}$.

Площадь внутреннего квадрата $S_{PQRS}$ равна $s^2$:$S_{PQRS} = \left(\frac{a(\sqrt{3}-1)}{2}\right)^2 = \frac{a^2(\sqrt{3}^2 - 2\sqrt{3} + 1^2)}{4} = \frac{a^2(3 - 2\sqrt{3} + 1)}{4} = \frac{a^2(4 - 2\sqrt{3})}{4} = a^2\frac{2 - \sqrt{3}}{2}$.

Искомая часть площади — это отношение площади внутреннего квадрата к площади исходного квадрата:$\frac{S_{PQRS}}{S_{ABCD}} = \frac{a^2\frac{2 - \sqrt{3}}{2}}{a^2} = \frac{2 - \sqrt{3}}{2} = 1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$.