Номер 1082, страница 149 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1082. Окружность касается дуги и радиусов сектора в точках $M$ и $N$. Учитывая, что центральный угол сектора равен $60^\circ$, а его радиус $R$ (рис. 333), найдите площадь закрашенной фигуры.

Рис. 333

Пусть $O$ — вершина сектора, а $R$ — его радиус. Центральный угол сектора $\angle AOB = 60^\circ$. Пусть вписанная окружность имеет центр в точке $C$ и радиус $r$. Окружность касается радиусов сектора $OA$ и $OB$ в точках $N$ и $M$ соответственно.

1. Найдем радиус вписанной окружности $r$ через радиус сектора $R$.

Поскольку окружность касается двух радиусов сектора, ее центр $C$ лежит на биссектрисе центрального угла. Следовательно, луч $OC$ делит угол $\angle AOB$ пополам:$\angle NOC = \angle MOC = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ONC$. Так как $CN$ — радиус, проведенный в точку касания $N$, он перпендикулярен касательной $OA$. Таким образом, $\triangle ONC$ — прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине $N$. В этом треугольнике:$\sin(\angle NOC) = \frac{CN}{OC}$$\sin(30^\circ) = \frac{r}{OC}$$\frac{1}{2} = \frac{r}{OC} \implies OC = 2r$.

Окружность также касается дуги сектора. Точка касания (обозначим ее $P$) лежит на линии, соединяющей центры $O$ и $C$. Расстояние от центра сектора $O$ до точки $P$ на дуге равно радиусу сектора $R$. Это расстояние также можно выразить как сумму отрезков $OC$ и $CP$ (радиус вписанной окружности).$OP = OC + CP$$R = 2r + r = 3r$Отсюда находим радиус вписанной окружности:$r = \frac{R}{3}$.

2. Найдем площадь закрашенной фигуры.

Закрашенная фигура симметрична такой же незакрашенной фигуре с другой стороны от биссектрисы $OC$. Площадь обеих этих фигур вместе равна площади четырехугольника $ONCM$ минус площадь сектора $NCM$ вписанной окружности.

Найдем площадь четырехугольника $ONCM$. Он состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников $\triangle ONC$ и $\triangle OMC$. Площадь $ONCM$ равна удвоенной площади $\triangle ONC$. Найдем катет $ON$ в $\triangle ONC$:$\text{tg}(\angle NOC) = \frac{CN}{ON}$$\text{tg}(30^\circ) = \frac{r}{ON} \implies ON = \frac{r}{\text{tg}(30^\circ)} = \frac{r}{1/\sqrt{3}} = r\sqrt{3}$. Подставим $r = R/3$:$ON = \frac{R}{3}\sqrt{3} = \frac{R\sqrt{3}}{3}$.

Площадь $\triangle ONC$:$S_{\triangle ONC} = \frac{1}{2} \cdot ON \cdot CN = \frac{1}{2} \cdot \frac{R\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{R}{3} = \frac{R^2\sqrt{3}}{18}$. Площадь четырехугольника $ONCM$:$S_{ONCM} = 2 \cdot S_{\triangle ONC} = 2 \cdot \frac{R^2\sqrt{3}}{18} = \frac{R^2\sqrt{3}}{9}$.

Теперь найдем площадь сектора $NCM$ вписанной окружности. Угол $\angle NCM$ в четырехугольнике $ONCM$ можно найти, зная, что сумма углов четырехугольника равна $360^\circ$:$\angle NCM = 360^\circ - \angle ONC - \angle OMC - \angle MON = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. Площадь сектора $NCM$:$S_{сект. NCM} = \frac{120}{360} \pi r^2 = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{R}{3}\right)^2 = \frac{1}{3} \pi \frac{R^2}{9} = \frac{\pi R^2}{27}$.

Площадь фигуры, ограниченной отрезками $ON$, $OM$ и дугой $NM$, равна:$S_{крив. ONM} = S_{ONCM} - S_{сект. NCM} = \frac{R^2\sqrt{3}}{9} - \frac{\pi R^2}{27} = \frac{3R^2\sqrt{3} - \pi R^2}{27} = \frac{R^2(3\sqrt{3} - \pi)}{27}$.

Закрашенная фигура составляет половину этой площади из-за симметрии относительно $OC$.$S_{закраш.} = \frac{1}{2} S_{крив. ONM} = \frac{1}{2} \cdot \frac{R^2(3\sqrt{3} - \pi)}{27} = \frac{R^2(3\sqrt{3} - \pi)}{54}$.

Ответ: $\frac{R^2(3\sqrt{3} - \pi)}{54}$