Номер 1075, страница 149 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

Рис. 331

1075. Центры трех окружностей с радиусами $3 \text{ см}$, $3 \text{ см}$ и $6 \text{ см}$, одна из которых касается двух других, лежат на одной прямой (рис. 331). Найдите радиус четвертой окружности, касающейся всех трех.

Для решения задачи введем систему координат. Пусть центры трех заданных окружностей лежат на оси абсцисс $Ox$. Согласно условию и рисунку 331, окружность радиусом 6 см находится между двумя окружностями радиусом 3 см. Поместим центр средней окружности в начало координат.

Обозначим окружности и их параметры:

• Окружность $C_1$: радиус $r_1 = 3$ см. Расстояние между ее центром $O_1$ и центром $O_2$ равно сумме радиусов, $r_1 + r_2 = 3 + 6 = 9$ см. Пусть ее центр будет в точке $O_1(-9, 0)$.
• Окружность $C_2$: радиус $r_2 = 6$ см. Ее центр находится в точке $O_2(0, 0)$.
• Окружность $C_3$: радиус $r_3 = 3$ см. Расстояние между ее центром $O_3$ и центром $O_2$ равно $r_2 + r_3 = 6 + 3 = 9$ см. Ее центр находится в точке $O_3(9, 0)$.

Пусть четвертая окружность, $C_4$, имеет центр в точке $O_4(x, y)$ и радиус $r_4$. Поскольку конфигурация окружностей $C_1$, $C_2$ и $C_3$ симметрична относительно оси ординат $Oy$, центр четвертой окружности $C_4$, касающейся всех трех, также должен лежать на оси симметрии. Следовательно, $x=0$, и центр четвертой окружности — $O_4(0, y)$.

Рассмотрим два возможных случая, изображенных на рисунке.

Случай 1: Большая окружность, касающаяся трех данных внутренним образом (рис. 331, слева).

Пусть радиус этой окружности равен $R$. Расстояние между центрами двух окружностей, касающихся внутренним образом, равно разности их радиусов (большего и меньшего). Центр $O_4$ может находиться над или под осью $Ox$. Для определенности будем считать, что $y > 0$.

Расстояние от центра $O_4(0, y)$ до центра $O_2(0, 0)$ равно $y$. Это расстояние должно быть равно разности радиусов $R$ и $r_2$:

$d(O_4, O_2) = y = R - r_2 = R - 6$

Расстояние от центра $O_4(0, y)$ до центра $O_1(-9, 0)$ вычисляется по теореме Пифагора и равно $\sqrt{(0 - (-9))^2 + (y-0)^2} = \sqrt{81 + y^2}$. Это расстояние должно быть равно разности радиусов $R$ и $r_1$:

$d(O_4, O_1) = \sqrt{81 + y^2} = R - r_1 = R - 3$

Подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе:

$\sqrt{81 + (R-6)^2} = R - 3$

Возведем обе части уравнения в квадрат (при условии $R-3 > 0$):

$81 + (R-6)^2 = (R-3)^2$

$81 + R^2 - 12R + 36 = R^2 - 6R + 9$

$117 - 12R = -6R + 9$

$108 = 6R$

$R = \frac{108}{6} = 18$

Радиус большой окружности равен 18 см. Это является одним из возможных решений.

Случай 2: Малая окружность, касающаяся трех данных внешним образом (рис. 331, справа).

Пусть радиус этой окружности равен $r$. Расстояние между центрами двух окружностей, касающихся внешним образом, равно сумме их радиусов. Снова предположим, что центр $O_4(0, y)$ находится при $y > 0$.

Расстояние от центра $O_4(0, y)$ до центра $O_2(0, 0)$ равно $y$. Это расстояние должно быть равно сумме радиусов $r$ и $r_2$:

$d(O_4, O_2) = y = r + r_2 = r + 6$

Расстояние от центра $O_4(0, y)$ до центра $O_1(-9, 0)$ равно $\sqrt{81 + y^2}$. Это расстояние должно быть равно сумме радиусов $r$ и $r_1$:

$d(O_4, O_1) = \sqrt{81 + y^2} = r + r_1 = r + 3$

Подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе:

$\sqrt{81 + (r+6)^2} = r + 3$

Возведем обе части уравнения в квадрат (при условии $r > 0$):

$81 + (r+6)^2 = (r+3)^2$

$81 + r^2 + 12r + 36 = r^2 + 6r + 9$

$117 + 12r = 6r + 9$

$6r = 9 - 117$

$6r = -108$

$r = -18$

Полученное значение радиуса отрицательно, что физически невозможно. Это означает, что для заданных радиусов и расположения трех исходных окружностей не существует четвертой окружности, которая касалась бы всех трех внешним образом. Таким образом, конфигурация, изображенная на правом рисунке, невозможна при данных числовых значениях.

Поскольку задача просит найти радиус (в единственном числе) и только один из двух изображенных случаев приводит к реальному решению, мы принимаем этот единственный результат в качестве ответа.

Ответ: 18 см.