Номер 1072, страница 148 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1072. Расстояния от точки пересечения медиан треугольника до его сторон относятся как $2 : 3 : 4$. Найдите эти стороны, учитывая, что периметр треугольника равен $78$ см.

Пусть стороны треугольника равны $a$, $b$ и $c$. Точка пересечения медиан треугольника называется центроидом. Обозначим ее буквой $M$. Расстояния от центроида до сторон треугольника — это высоты трех треугольников, на которые центроид делит исходный треугольник, соединяясь с его вершинами. Обозначим эти расстояния как $h_a$, $h_b$ и $h_c$, где $h_a$ — расстояние до стороны $a$, $h_b$ — до стороны $b$, и $h_c$ — до стороны $c$.

По условию задачи, эти расстояния относятся как $2:3:4$. То есть, $h_a : h_b : h_c = 2 : 3 : 4$.

Важным свойством центроида является то, что он делит треугольник на три треугольника равной площади. Если соединить центроид $M$ с вершинами треугольника, то площади полученных треугольников будут равны:

$S_{BMC} = S_{CMA} = S_{AMB} = \frac{1}{3} S_{ABC}$

Площадь каждого из этих треугольников можно выразить через сторону и высоту, опущенную на нее из точки $M$:

$S_{BMC} = \frac{1}{2} a \cdot h_a$

$S_{CMA} = \frac{1}{2} b \cdot h_b$

$S_{AMB} = \frac{1}{2} c \cdot h_c$

Так как эти площади равны, мы можем записать:

$\frac{1}{2} a \cdot h_a = \frac{1}{2} b \cdot h_b = \frac{1}{2} c \cdot h_c$

Умножив все части на 2, получим:

$a \cdot h_a = b \cdot h_b = c \cdot h_c$

Из этого соотношения следует, что стороны треугольника обратно пропорциональны расстояниям от центроида до этих сторон.

$a : b : c = \frac{1}{h_a} : \frac{1}{h_b} : \frac{1}{h_c}$

Подставим известное соотношение для $h_a, h_b, h_c$:

$a : b : c = \frac{1}{2} : \frac{1}{3} : \frac{1}{4}$

Чтобы избавиться от дробей, умножим все части отношения на наименьшее общее кратное знаменателей (2, 3 и 4), которое равно 12:

$a : b : c = (\frac{1}{2} \cdot 12) : (\frac{1}{3} \cdot 12) : (\frac{1}{4} \cdot 12) = 6 : 4 : 3$

Теперь мы знаем соотношение сторон треугольника. Пусть $k$ — коэффициент пропорциональности. Тогда стороны треугольника можно выразить как $a = 6k$, $b = 4k$ и $c = 3k$.

Периметр треугольника $P$ равен сумме длин его сторон:

$P = a + b + c = 6k + 4k + 3k = 13k$

По условию, периметр равен 78 см. Составим уравнение:

$13k = 78$

$k = \frac{78}{13} = 6$

Теперь найдем длины сторон:

$a = 6k = 6 \cdot 6 = 36$ см

$b = 4k = 4 \cdot 6 = 24$ см

$c = 3k = 3 \cdot 6 = 18$ см

Проверим: $36 + 24 + 18 = 78$ см.

Ответ: стороны треугольника равны 36 см, 24 см и 18 см.