Номер 1069, страница 148 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1069. Шестиугольник $ABCDEF$ с равными сторонами состоит из двух трапеций с общим основанием $AD$ (рис. 329). Найдите его площадь, учитывая, что $AC = 13 \text{ см}$ и $BF = 10 \text{ см}$.

Рис. 329

Шестиугольник ABCDEF состоит из двух трапеций ABCD и AFED с общим основанием AD. Поскольку по условию все стороны шестиугольника равны ($AB = BC = CD = DE = EF = FA$), то трапеции ABCD и AFED являются равнобедренными и конгруэнтными.

В силу симметрии фигуры относительно прямой AD, отражением вершины B является вершина F, а отражением C является E. Отрезок, соединяющий точку и ее отражение, перпендикулярен оси симметрии. Следовательно, отрезок BF перпендикулярен прямой AD. Пусть H — точка их пересечения. Тогда BH и FH — высоты трапеций ABCD и AFED соответственно. Так как трапеции конгруэнтны, их высоты равны, то есть $BH = FH = h$.

Длина отрезка BF равна сумме высот двух трапеций: $BF = BH + FH = h + h = 2h$. По условию дано, что $BF = 10$ см. Отсюда находим высоту каждой трапеции:$2h = 10 \text{ см} \implies h = 5 \text{ см}$.

Площадь всего шестиугольника равна сумме площадей двух конгруэнтных трапеций:$S_{ABCDEF} = S_{ABCD} + S_{AFED} = 2 \cdot S_{ABCD}$. Площадь трапеции ABCD вычисляется по формуле: $S_{ABCD} = \frac{BC + AD}{2} \cdot h$. Таким образом, площадь шестиугольника можно найти как $S_{ABCDEF} = (BC + AD) \cdot h$.

Чтобы найти сумму длин оснований ($BC + AD$), воспользуемся длиной диагонали AC. Проведем из вершины C высоту CK к основанию AD. Длина этой высоты равна $h$, то есть $CK = 5$ см. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ACK$. По теореме Пифагора $AC^2 = AK^2 + CK^2$.

Подставим известные значения:$13^2 = AK^2 + 5^2$$169 = AK^2 + 25$$AK^2 = 169 - 25 = 144$$AK = \sqrt{144} = 12$ см.

Теперь выразим длину отрезка AK через основания трапеции. Так как трапеция ABCD равнобедренная, то проекции ее боковых сторон на большее основание равны. Опустив высоту BH из точки B на AD, получим $AH = KD$. Основание $AD = AH + HK + KD$. Так как BCKH — прямоугольник, то $HK = BC$. Таким образом, $AD = 2KD + BC$. Длина отрезка AK складывается из отрезков $AH$ и $HK$ (или, что то же самое, $AD-KD$):$AK = AD - KD = (2KD + BC) - KD = KD + BC$. Итак, мы получили, что $KD + BC = 12$ см.

Сумма оснований трапеции равна:$BC + AD = BC + (2KD + BC) = 2BC + 2KD = 2(BC + KD)$. Подставив найденное значение $BC + KD = 12$ см, получаем:$BC + AD = 2 \cdot 12 = 24$ см.

Наконец, вычисляем площадь шестиугольника:$S_{ABCDEF} = (BC + AD) \cdot h = 24 \text{ см} \cdot 5 \text{ см} = 120 \text{ см}^2$.

Ответ: $120 \text{ см}^2$.