Номер 1068, страница 148 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1068. Многоугольник, описанный около окружности, имеет площадь $S$ и периметр $P$. Найдите радиус окружности.

Пусть дан произвольный выпуклый многоугольник, описанный около окружности. Обозначим площадь многоугольника как $S$, его периметр как $P$, а радиус вписанной в него окружности как $r$.

Для нахождения радиуса $r$ соединим центр вписанной окружности с каждой вершиной многоугольника. Это действие разделит многоугольник на несколько треугольников, количество которых равно количеству сторон многоугольника.

Основанием каждого такого треугольника будет являться одна из сторон многоугольника. Высотой каждого треугольника, проведенной из центра окружности к стороне, будет являться радиус $r$. Это следует из свойства, что радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной (в данном случае — стороне многоугольника).

Площадь всего многоугольника $S$ равна сумме площадей всех этих треугольников. Пусть стороны многоугольника равны $a_1, a_2, \dots, a_n$. Тогда площадь многоугольника можно записать как:
$S = \frac{1}{2} a_1 r + \frac{1}{2} a_2 r + \dots + \frac{1}{2} a_n r$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2} r$ за скобки:
$S = \frac{1}{2} r (a_1 + a_2 + \dots + a_n)$

Выражение в скобках представляет собой сумму длин всех сторон многоугольника, то есть его периметр $P$:
$P = a_1 + a_2 + \dots + a_n$

Таким образом, мы получаем известную формулу для площади описанного многоугольника:
$S = \frac{1}{2} P \cdot r$

Из этой формулы выразим искомый радиус $r$:
$2S = P \cdot r$
$r = \frac{2S}{P}$

Ответ: $r = \frac{2S}{P}$