Номер 1063, страница 147 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1063. Найдите площадь трапеции, основания которой равны 7 см и 8 см, а диагонали — 13 см и 14 см.

Пусть дана трапеция с основаниями $a = 7$ см и $b = 8$ см, и диагоналями $d_1 = 13$ см и $d_2 = 14$ см.

Для нахождения площади трапеции воспользуемся методом дополнительного построения. Обозначим трапецию $ABCD$, где $AD$ и $BC$ — основания. Пусть $BC = a = 7$ см, $AD = b = 8$ см. Диагонали $AC = d_1 = 13$ см и $BD = d_2 = 14$ см.

Проведем через вершину $C$ прямую, параллельную диагонали $BD$. Пусть эта прямая пересекает продолжение основания $AD$ в точке $E$.

Рассмотрим четырехугольник $BCED$. В нем стороны $BC$ и $DE$ параллельны (так как лежат на параллельных прямых $BC$ и $AE$). Стороны $CE$ и $BD$ параллельны по построению. Следовательно, $BCED$ — параллелограмм.

По свойству параллелограмма, его противоположные стороны равны:
$DE = BC = 7$ см.
$CE = BD = 14$ см.

Рассмотрим получившийся треугольник $ACE$. Длины всех его сторон нам известны:
$AC = 13$ см (по условию).
$CE = 14$ см (как сторона параллелограмма).
$AE = AD + DE = 8 + 7 = 15$ см.

Высота трапеции $ABCD$, проведенная из вершины $C$, совпадает с высотой треугольника $ACE$, проведенной из той же вершины $C$. Обозначим эту высоту как $h$.
Площадь трапеции вычисляется по формуле: $S_{ABCD} = \frac{BC+AD}{2} \cdot h$.
Площадь треугольника $ACE$ равна: $S_{ACE} = \frac{1}{2} AE \cdot h = \frac{1}{2} (AD+DE) \cdot h = \frac{1}{2} (AD+BC) \cdot h$.
Сравнивая формулы, видим, что $S_{ABCD} = S_{ACE}$. Таким образом, задача сводится к нахождению площади треугольника $ACE$.

Площадь треугольника с известными сторонами найдем по формуле Герона: $S = \sqrt{p(p-s_1)(p-s_2)(p-s_3)}$, где $p$ — полупериметр, а $s_1, s_2, s_3$ — стороны треугольника.

Сначала вычислим полупериметр треугольника $ACE$:
$p = \frac{AC + CE + AE}{2} = \frac{13 + 14 + 15}{2} = \frac{42}{2} = 21$ см.

Теперь вычислим площадь треугольника $ACE$:
$S_{ACE} = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)} = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}$.
Разложим подкоренное выражение на простые множители:
$S_{ACE} = \sqrt{(3 \cdot 7) \cdot (2^3) \cdot 7 \cdot (2 \cdot 3)} = \sqrt{3^2 \cdot 7^2 \cdot 2^4} = \sqrt{(3 \cdot 7 \cdot 2^2)^2}$.
$S_{ACE} = 3 \cdot 7 \cdot 2^2 = 21 \cdot 4 = 84$ $см^2$.

Так как площадь трапеции равна площади треугольника $ACE$, искомая площадь равна $84$ $см^2$.

Ответ: 84 $см^2$.