Номер 1057, страница 146 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1057. Точки $M, N, K$ на сторонах $AB, BC, AC$ треугольника $ABC$ расположены так, что $AM : MB = 2 : 1$, $BN : NC = 3 : 2$, $CK : KA = 1 : 3$. Найдите отношение отрезков, на которые:

a) прямая $MN$ разделяет отрезок $BK$;

б) прямая $BK$ разделяет отрезок $MN$.

Для решения задачи воспользуемся векторным методом. Примем точку B за начало координат. Тогда $\vec{B} = \vec{0}$. Введем базисные векторы $\vec{BA} = \vec{a}$ и $\vec{BC} = \vec{c}$. В этом случае $\vec{A} = \vec{a}$ и $\vec{C} = \vec{c}$.

Выразим положение точек M, N, K через базисные векторы:

• Точка M лежит на стороне AB, и $AM : MB = 2 : 1$. Это значит, что $BM : BA = 1 : 3$. Следовательно, $\vec{BM} = \frac{1}{3}\vec{BA} = \frac{1}{3}\vec{a}$. Положение точки M задается вектором $\vec{M} = \vec{BM} = \frac{1}{3}\vec{a}$.
• Точка N лежит на стороне BC, и $BN : NC = 3 : 2$. Это значит, что $BN : BC = 3 : 5$. Следовательно, $\vec{BN} = \frac{3}{5}\vec{BC} = \frac{3}{5}\vec{c}$. Положение точки N задается вектором $\vec{N} = \vec{BN} = \frac{3}{5}\vec{c}$.
• Точка K лежит на стороне AC, и $CK : KA = 1 : 3$. Это значит, что K делит отрезок AC в отношении $AK : KC = 3 : 1$. По формуле деления отрезка в заданном отношении, положение точки K задается вектором $\vec{BK} = \frac{1 \cdot \vec{BA} + 3 \cdot \vec{BC}}{1+3} = \frac{1}{4}\vec{BA} + \frac{3}{4}\vec{BC} = \frac{1}{4}\vec{a} + \frac{3}{4}\vec{c}$. Положение точки K задается вектором $\vec{K} = \vec{BK} = \frac{1}{4}\vec{a} + \frac{3}{4}\vec{c}$.

Пусть O — точка пересечения отрезков MN и BK. Поскольку точка O лежит на отрезке BK, ее радиус-вектор $\vec{BO}$ коллинеарен вектору $\vec{BK}$, то есть существует такое число $\lambda \in (0, 1)$, что $\vec{BO} = \lambda \vec{BK}$.

$\vec{BO} = \lambda \left(\frac{1}{4}\vec{a} + \frac{3}{4}\vec{c}\right) = \frac{\lambda}{4}\vec{a} + \frac{3\lambda}{4}\vec{c}$

Поскольку точка O также лежит на отрезке MN, ее радиус-вектор $\vec{BO}$ можно выразить через векторы $\vec{BM}$ и $\vec{BN}$. Существует такое число $\mu \in (0, 1)$, что O делит отрезок MN в отношении $MO:ON = \mu : (1-\mu)$. Тогда $\vec{BO} = (1-\mu)\vec{BM} + \mu\vec{BN}$.

$\vec{BO} = (1-\mu)\left(\frac{1}{3}\vec{a}\right) + \mu\left(\frac{3}{5}\vec{c}\right) = \frac{1-\mu}{3}\vec{a} + \frac{3\mu}{5}\vec{c}$

Так как векторы $\vec{a}$ и $\vec{c}$ неколлинеарны (поскольку они являются сторонами треугольника), то разложение вектора $\vec{BO}$ по этому базису единственно. Приравняем коэффициенты при $\vec{a}$ и $\vec{c}$ в двух полученных выражениях:

$\begin{cases} \frac{\lambda}{4} = \frac{1-\mu}{3} \\ \frac{3\lambda}{4} = \frac{3\mu}{5} \end{cases}$

Из второго уравнения получаем $\frac{\lambda}{4} = \frac{\mu}{5}$, откуда $\lambda = \frac{4\mu}{5}$.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$\frac{\mu}{5} = \frac{1-\mu}{3}$

$3\mu = 5(1-\mu)$

$3\mu = 5 - 5\mu$

$8\mu = 5$

$\mu = \frac{5}{8}$

Теперь найдем $\lambda$:

$\lambda = \frac{4}{5}\mu = \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$

Теперь мы можем найти искомые отношения.

а)

Точка O делит отрезок BK в отношении $BO : OK$. Так как $\vec{BO} = \lambda \vec{BK}$, то $BO = \lambda \cdot BK$ и $OK = (1-\lambda) \cdot BK$.

Следовательно, искомое отношение $BO : OK = \lambda : (1-\lambda)$.

Подставив значение $\lambda = 1/2$, получаем:

$BO : OK = \frac{1}{2} : \left(1-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} : \frac{1}{2} = 1 : 1$

Ответ: $1:1$

б)

Точка O делит отрезок MN в отношении $MO : ON$. Как мы установили ранее, $MO:ON = \mu : (1-\mu)$.

Подставив значение $\mu = 5/8$, получаем:

$MO : ON = \frac{5}{8} : \left(1-\frac{5}{8}\right) = \frac{5}{8} : \frac{3}{8} = 5 : 3$

Ответ: $5:3$