Номер 1050, страница 145 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1050. Самая удаленная от прямой $l$ точка $A$ окружности $\omega$ находится на расстоянии $a$. Прямая, проведенная через точку $A$, пересекает окружность в точке $B$ и прямую $l$ в точке $C$ (рис. 325). Найдите произведение длин отрезков $AB$ и $AC$, учитывая, что радиус окружности $\omega$ равен $R$.

Рис. 325

Пусть O — центр окружности ω. По условию задачи, точка A является самой удаленной точкой окружности от прямой l. Это означает, что диаметр окружности, проходящий через точку A, перпендикулярен прямой l.

Проведем этот диаметр, обозначив его AD. Длина диаметра равна двум радиусам: $AD = 2R$.

Пусть K — точка пересечения прямой AD и прямой l. Поскольку прямая AD перпендикулярна прямой l, отрезок AK является расстоянием от точки A до прямой l. По условию, это расстояние равно a, следовательно, $AK = a$.

Рассмотрим два прямоугольных треугольника, которые образуются с участием прямой AC и перпендикулярной ей прямой AD.

1. Соединим точки D и B. Треугольник $\triangle ABD$ является прямоугольным, так как угол $\angle ABD$ опирается на диаметр AD, а значит, $\angle ABD = 90^\circ$.

2. Треугольник $\triangle AKC$ также является прямоугольным, так как прямая AD перпендикулярна прямой l, и, следовательно, $\angle AKC = 90^\circ$.

Обозначим угол между секущей AC и диаметром AD как $\alpha$. То есть, $\angle DAB = \angle KAC = \alpha$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle ABD$ косинус угла $\alpha$ определяется как отношение прилежащего катета AB к гипотенузе AD:

$\cos(\alpha) = \frac{AB}{AD}$

Отсюда выразим длину отрезка AB:

$AB = AD \cdot \cos(\alpha) = 2R \cos(\alpha)$

В прямоугольном треугольнике $\triangle AKC$ косинус угла $\alpha$ определяется как отношение прилежащего катета AK к гипотенузе AC:

$\cos(\alpha) = \frac{AK}{AC}$

Отсюда выразим длину отрезка AC:

$AC = \frac{AK}{\cos(\alpha)} = \frac{a}{\cos(\alpha)}$

Теперь найдем произведение длин отрезков AB и AC, перемножив полученные выражения:

$AB \cdot AC = (2R \cos(\alpha)) \cdot \left(\frac{a}{\cos(\alpha)}\right)$

Сократив $\cos(\alpha)$ в числителе и знаменателе, получаем искомое произведение:

$AB \cdot AC = 2aR$

Ответ: $2aR$.