Номер 1048, страница 145 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

1048. Две стороны треугольника длинами 20 см и 45 см заключают биссектрису длиной 24 см. Найдите отрезки, на которые биссектриса разделяет третью сторону треугольника.

Пусть дан треугольник, две стороны которого равны $a = 20$ см и $b = 45$ см. Биссектриса угла между этими сторонами имеет длину $l = 24$ см. Эта биссектриса делит третью сторону на отрезки $m$ и $n$. Требуется найти длины этих отрезков.

Воспользуемся свойством биссектрисы треугольника, согласно которому она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Таким образом, отношение отрезков $m$ и $n$ равно отношению сторон $a$ и $b$: $$ \frac{m}{n} = \frac{a}{b} = \frac{20}{45} = \frac{4}{9} $$ Отсюда можно выразить длины отрезков через общий коэффициент пропорциональности $x$: $m = 4x$ и $n = 9x$.

Существует формула для вычисления длины биссектрисы треугольника через длины его сторон и отрезков, на которые она делит противолежащую сторону: $$ l^2 = a \cdot b - m \cdot n $$ Подставим в эту формулу известные значения и выражения для $m$ и $n$: $$ 24^2 = 20 \cdot 45 - (4x) \cdot (9x) $$

Теперь решим полученное уравнение: $$ 576 = 900 - 36x^2 $$ Перенесем $36x^2$ в левую часть, а 576 — в правую: $$ 36x^2 = 900 - 576 $$ $$ 36x^2 = 324 $$ Найдем $x^2$: $$ x^2 = \frac{324}{36} $$ $$ x^2 = 9 $$ Поскольку длина отрезка — положительная величина, $x$ также должен быть положительным: $$ x = \sqrt{9} = 3 $$

Зная значение $x$, можем вычислить длины искомых отрезков $m$ и $n$: $$ m = 4x = 4 \cdot 3 = 12 \text{ см} $$ $$ n = 9x = 9 \cdot 3 = 27 \text{ см} $$

Ответ: 12 см и 27 см.